线性代数MIT 18.06 记录（六）列空间和零空间

列空间

回顾，在子空间必须满足的条件：

• 保证加和乘的封闭性

观察一：

• 任意子向量空间的交集也都是子向量空间

列空间举例

显然，这个矩阵的三个列向量组成的列向量空间是 $R^4$R4 空间的子向量空间

这里我们可以联系到线性方程：

是否对每一个b $Ax = b$Ax=b 都有解呢？
或者说，什么样的b 可以让方程有解呢？

首先第一个问题的答案是否，在于：
3个列向量的线性组合无法充满整个四维空间
第二个问题，老师是这样讲的：
当且仅当 $b$b 在 $A$A 的 列向量的线性组合种，方程组 $Ax = b$Ax=b 才有解

这里也引出了线性相关的概念，我们可以看到，第三列是第一列和第二列的和，它并没有为线性组合做出任何贡献，所以它和前两个不是线性独立的。
最后我们知道 A矩阵的列向量子空间是 $R^4$R4 中 的二维子空间

零空间（null space）

定义是:

• 所有可以使得方程组 $Ax = b$Ax=b 成立的 $X$X 即为A的零向量空间

具体到例子上，是这样的

首先，零空间肯定有一个零向量，综合起来就是这样一个解
$c * \left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \tag{3}$c∗⎣⎡​11−1​⎦⎤​(3)

这样我们就知道 对于这个 $A$A ，它的零空间就是 $R^3$R3 中的一条直线

证明

但是为什么这样可以得到一个零空间呢？
我们需要证明：
$if$if $Av = 0$Av=0  and  $Aw=0$Aw=0  $then$then $A(v+w)=0$A(v+w)=0
一写出来，就发现还是很简单，就是一个分配律就解决了