线性代数MIT 18.06 记录（十五）子空间和投影

投影

（老师侧颜好帅啊啊啊啊）

推导过程：
$e和p垂直，有：a^T(b-p)=0$e和p垂直，有：aT(b−p)=0
$a^T(b-xa) = 0$aT(b−xa)=0
$a^Tb = xa^Ta$aTb=xaTa
$因为a^Ta是一个数，所以同时除以它有：$因为aTa是一个数，所以同时除以它有：
$x = a^Tb/a^Ta$x=aTb/aTa
$p = (aa^T/a^Ta)b$p=(aaT/aTa)b
这个p就是一个n×n维的矩阵

投影，是一个矩阵，作用在b上面，使我们得到投影p

特殊矩阵

$(aa^T/a^Ta)$(aaT/aTa)
$p = P*b$p=P∗b
这个矩阵非常有趣，大P*b得到的在大P的列空间（一维）里

所以P矩阵的列空间的一条通过a的直线，所以它的秩为1

这个矩阵是对称的: $P^T = P$PT=P

第二次转置无效$P^2 = P$P2=P

为什么需要投影

因为$Ax =b$Ax=b可能无解

Ax肯定在A的列空间内，而b不在，我们把b做到A上的投影变成p，就成了有解的情况

二维情况

矩阵形式

我天，normal equation 推出来了

刚才两个性质都保存下来了