傅里叶级数展开的定义

将一个周期信号分解为一个直流分量和一系列复指数信号分量之和的过程被称为傅里叶级数展开。
周期信号$f(t)$f(t)的傅里叶级数展开式为：$f(t)=\sum_{k=-\infin}^{\infin}c_ke^{jkw_0t}$f(t)=k=−∞∑∞​ck​ejkw0​t
其中：
$w_0:w_0=\frac{2\pi}{T}$w0​:w0​=T2π​，周期$T$T确定了$w_0$w0​就确定了

$c_k$ck​:傅里叶系数，$c_0$c0​就是直流分量

傅里叶级数展开的几何意义

傅里叶级数展开的本质就是用一系列角速度为$w=kw_0$w=kw0​的旋转向量$c_ke^{jkw_0t}$ck​ejkw0​t来合成周期信号。旋转向量在$t=0$t=0时刻对应的向量就是傅里叶系数$c_k$ck​
如下图所示：

傅里叶系数的计算公式

傅里叶系数的计算公式如下：$c_k=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jkw_0t}dt\, (k=0,\pm1,\pm 2,...)$ck​=T1​∫−T/2T/2​f(t)e−jkw0​tdt(k=0,±1,±2,...)
这个公式是怎么得来的呢？

• 将傅里叶级数展开式中$k=m$k=m那一项单独列出来：$f(t)=\sum_{k=-\infin}^{\infin}c_ke^{jkw_0t}=c_me^{jmw_0t}+\sum_{k=-\infin,k\neq m}^{\infin}c_ke^{jkw_0t}$f(t)=k=−∞∑∞​ck​ejkw0​t=cm​ejmw0​t+k=−∞,k​=m∑∞​ck​ejkw0​t
• 两端乘以$e^{-jmw_0t}$e−jmw0​t:$f(t)e^{-jmw_0t}=c_me^{jmw_0t}e^{-jmw_0t}+\sum_{k=-\infin,k\neq m}^{\infin}c_ke^{jkw_0t}e^{-jmw_0t}=c_m+\sum_{k=-\infin,k\neq m}^{\infin}c_ke^{j(k-m)w_0t}$f(t)e−jmw0​t=cm​ejmw0​te−jmw0​t+k=−∞,k​=m∑∞​ck​ejkw0​te−jmw0​t=cm​+k=−∞,k​=m∑∞​ck​ej(k−m)w0​t
• 在基波周期内对两端进行积分：$\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jmw_0t}dt\,=\int_{-T/2}^{T/2}c_mdt\,+\int_{-T/2}^{T/2}\sum_{k=-\infin,k\neq m}^{\infin}c_ke^{j(k-m)w_0t}dt\,$∫−T/2T/2​f(t)e−jmw0​tdt=∫−T/2T/2​cm​dt+∫−T/2T/2​k=−∞,k​=m∑∞​ck​ej(k−m)w0​tdt
  根据复指数信号的正交性，上式中求和项的积分为0，因此：
  $\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jmw_0t}dt\,=\int_{-T/2}^{T/2}c_mdt\,=c_mT$∫−T/2T/2​f(t)e−jmw0​tdt=∫−T/2T/2​cm​dt=cm​T
• 求出$c_m$cm​:
  $c_m=\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jmw_0t}dt\,$cm​=T1​∫−T/2T/2​f(t)e−jmw0​tdt

方波信号的傅里叶系数

方波信号$x(t)$x(t)周期为$T$T,幅度为1，脉宽为$\tau$τ,对方波来说，占空比为$1/2$1/2,因此$T=2\tau$T=2τ

-先求$c_0$c0​
$c_0=\frac{1}{T}\int_{-\tau /2}^{\tau /2}x(t)dt\,=\frac{1}{T}\int_{-\tau /2}^{\tau /2}1dt\,=0.5$c0​=T1​∫−τ/2τ/2​x(t)dt=T1​∫−τ/2τ/2​1dt=0.5

• 再来求$c_k$ck​
  $c_k=\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}x(t)e^{-jkw_0t}dt\,=\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}(\cos{kw_0t\,}-j\sin{kw_0t})dt\,\\ =\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}\cos{kw_0t\,}dt\,-j\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}\sin{kw_0t\,}dt\,\\ =\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}\cos{kw_0t\,}dt\,\\ =\frac{2}{kw_0T} \int_{0}^{T/2}\cos{kw_0t\,}d(kw_0t)\,\\=\frac{sin(kw_0\tau /2)}{kw_0T/2}$ck​=T1​∫−T/2T/2​x(t)e−jkw0​tdt=T1​∫−T/2T/2​(coskw0​t−jsinkw0​t)dt=T1​∫−T/2T/2​coskw0​tdt−jT1​∫−T/2T/2​sinkw0​tdt=T1​∫−T/2T/2​coskw0​tdt=kw0​T2​∫0T/2​coskw0​td(kw0​t)=kw0​T/2sin(kw0​τ/2)​
  由：$w_0=2\pi/T$w0​=2π/T,得：$w_0T=2\pi$w0​T=2π
  又因为：$T=2\tau$T=2τ,所以：$w_02\tau=2\pi$w0​2τ=2π，得到：$w_0\tau =\pi$w0​τ=π
  得：
  $c_k=\frac{1}{2}\frac{sin(k\pi /2)}{k \pi/2}=\frac{1}{2} sinc(\frac{k}{2})$ck​=21​kπ/2sin(kπ/2)​=21​sinc(2k​)

周期矩形信号的傅里叶级数

在方波信号的傅里叶系数推导过程中，我们用$\tau$τ表示脉冲的宽度，用$T$T表示脉冲的周期，得出傅里叶系数的表达式：
$c_k=\frac{sin(kw_0\tau /2)}{kw_0T/2}$ck​=kw0​T/2sin(kw0​τ/2)​
回顾整个推导过程可以发现，这个结果对幅值为1，脉冲为$\tau$τ,周期为$T$T的周期矩形信号也是适用的。
因为：$w_0=2\pi/T$w0​=2π/T,所以：$w_0=2\pi$w0​=2π
假定占空比为$1/n$1/n,即：$T=n\tau$T=nτ,所以：$w_0n\tau=2\pi$w0​nτ=2π,得到：$w_0\tau=2\pi/n$w0​τ=2π/n,代入上面的傅里叶系数表达式，得到：
$c_k=\frac{1}{n}\frac{sin(k\pi /n)}{k\pi/n}=\frac{1}{n}sinc(\frac{k}{n})$ck​=n1​kπ/nsin(kπ/n)​=n1​sinc(nk​)