傅里叶级数

傅里叶级数的一般表达

首先相信大家在高等数学的无穷级数章节都接触过傅里叶级数展开公式，如下。

下面我们给傅里叶级数赋予物理意义：一个周期为T0的信号，只要满足一定条件（狄里赫利条件），都可以分解为一个直流分量和无穷个正弦信号的叠加。这就将一个有规律的周期的信号同我们最熟悉的正弦信号联系起来，为后续的研究提供基础。

傅里叶级数的正弦表达

那么其实上式可以更加简便。如下

利用三角函数的基本公式简化

利用三角函数正交性求系数

这一步推导是再简单不过的三角函数性质，不在赘述。

这样看起来，我们针对周期信号的傅里叶展开已经很相对简洁了，我们甚至可以看出频率为nw0的信号分量的幅度和相位，也可以分别画出以频率为自变量，幅度为变量的二维曲线（这就是频谱了）同时也可以画出以频率为自变量，相位为变量的相位谱。

注意，这时候，我们便顺理成章的把时域（自变量为时间t）的研究，变成对频域（自变量为频率w=nw0）的研究。

我们的立足点和关注点不再是某一时刻t时，该信号在幅度相位上的表现。

而是在这个随着时间变化的信号中，关注某一频率分量w，它的振幅幅度的大小是多少，也就是在这个信号中，各个频率信号分量的能量大小是多少，它对信号在时域如此变化的贡献是多少。

如果还是不能理解的话，那是时候祭出这张经久不衰的图了。

我们可以看到，一个周期矩形脉冲信号，在时域上表现很容易观察，那么我们顺着上面的思路分析，将它分解为直流分量和频率为nw0的正弦信号分量，可以看出，不同的正弦信号分量其振幅是不同的，这些正弦分量也可以看作是在时域的周期变化，假设在时间t，每一个正弦信号都有自己在该时刻的幅度表现，那么其叠加便是整个矩形脉冲在改时刻的表现。

但这终究还是时域的分析，既然我们已经分解了，就必须讨论一下频域的表现。

我们将不同频率的正弦信号作投影，其实就是振幅，我们可以很直观的观察到，在时域中，信号振动幅度不断变化的背后，是由无数个nwo频率正弦信号叠加而成的，而这些正弦信号的贡献是不同的，有的振幅大，贡献就大，有的振幅小，贡献就小。从能量的角度来看，这个周期矩形脉冲信号是有能量的，而振幅大的正弦信号所占能量就高，振幅小的就低。那么振幅能表示出来吗，可以，他就是我们上面的到的。

也就是说，针对任意一个满足狄里赫利绝对可积条件的周期信号，其频率为nw0的正弦分量，振幅为对傅里叶级数Fourier serious的学习记录，这是可以通过数学公式推到出来的。

那么可能大家会有和我最初一样的疑问，得到这有啥用，时域看起来不是很直观，很简单嘛？何必将它分解，搞得这么复杂，有什么用处。

其实随着学习的深入，你会发现，频域分析是十分有优势的，往往要比时域更清晰。

举个例子说明用途吧，比如我们在寻找失事飞机黑匣子的时候，黑匣子会不断发出频率为比如37.5khz的声波信号，那我们怎么找到它呢，专家便通过频谱仪，来分析检测周围环境的频率构成，即对周围信号进行傅里叶分析，找到频率为37.5khz的分量，我们的频谱仪越靠近黑匣子，该37.5khz分量的振幅就越大，这样，就可以确定黑匣子的位置。（当然实际肯定更复杂，这里为了举例，领会精神即可）

在这里我们可以思考一下，为什么时域分析无法捕捉到37.5khz的声波信号。

所以，频谱分析是不是很有用？时域上杂乱无章的表现，往往可以在频域被我们找到规律，去进行信号分析。这就是透过现象看本质吧。