定义

设$X$X为一随机变量,若存在非负实函数$f(x)$f(x),使对任意实数$a<b$a<b,有
$P\{a\le x<b\}=\int_a^bf(x)dx$P{a≤x<b}=∫ab​f(x)dx
则称$X$X为连续性随机变量,$f(x)$f(x)称为$X$X的概率密度函数,简称概率密度或密度函数

$P\{x_1\le X<x_2\}=\int_{x_1}^{x_2}f(x)dx$P{x1​≤X<x2​}=∫x1​x2​​f(x)dx

分布函数

$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$F(x)=∫−∞x​f(t)dt

性质

$(1)$(1)非负性
$f(x)\ge0,\forall x\in(-\infty,+\infty)$f(x)≥0,∀x∈(−∞,+∞)

$(2)$(2)规范性
$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$∫−∞+∞​f(x)dx=1

密度函数和分布函数的关系

$(1)$(1)积分关系
$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(x)dx$F(x)=∫−∞x​f(x)dx

$F(x)=P\{X<x\}=\int_{-\infty}^{x}f(x)dx$F(x)=P{X<x}=∫−∞x​f(x)dx

$(2)$(2)导数关系
若$f(x)$f(x)在$x$x处连续,则$F^{'}(x)=f(x)$F′(x)=f(x)

连续性随机变量的分布函数的性质

连续性随机变量的分布函数在实数域内处处连续,因此,连续型随机变量取任意指定实数值$a$a的概率为$0$0
$P(X=a)=0$P(X=a)=0
$P(a\le X<b)=P(a<X\le b)=P(a\le X\le b)=P(a<X<b)\\=\int_a^b f(x)dx$P(a≤X<b)=P(a<X≤b)=P(a≤X≤b)=P(a<X<b)=∫ab​f(x)dx
$X$X取值在某区间的概率等于密度函数在此区间上的定积分

标准正态分布的概率计算

$分布函数$分布函数
$\Phi(x)=P\{X<x\}=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx$Φ(x)=P{X<x}=∫−∞x​2π​1​e−2x2​dx

$\Phi(-x)=1-\Phi(x)$Φ(−x)=1−Φ(x)

$\Phi(0)=0.5$Φ(0)=0.5

$公式$公式
$P(a\le X\le b)=\Phi(b)-\Phi(a)$P(a≤X≤b)=Φ(b)−Φ(a)

$P(X\le b)=\Phi(b) \qquad\qquad P(X\ge a)=1-\Phi(a)$P(X≤b)=Φ(b)P(X≥a)=1−Φ(a)