含义一

马氏距离可以描述一个点P到一个分布D之间的距离

设这个点P为x⃗ =(x1,x2,x3,...,xn)T

D分布均值为μ⃗ =(μ1,μ2,μ3,...,μn)T

D分布协方差矩阵为S

则P点到D分布之间的马氏距离为：

DM(x⃗ )=(x⃗ −μ⃗ )TS−1(x⃗ −μ⃗ )−−−−−−−−−−−−−−−−√

含义二

也可表示两个向量x⃗ 和y⃗ 之间的距离，但这两个向量需要是同一分布D的

D分布协方差矩阵为S

则两向量距离为

d(x⃗ ,y⃗ )=(x⃗ −y⃗ )TS−1(x⃗ −y⃗ )−−−−−−−−−−−−−−−−√

理解马氏距离

当求距离的时候，由于随机向量的每个分量之间量级不一样，比如说x1可能取值范围只有零点几，而x2有可能时而是2000，时而是3000，因此两个变量的离散度具有很大差异

马氏距离除以了一个方差矩阵，这就把各个分量之间的方差都除掉了，消除了量纲性，更加科学合理

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如上图，看左下方的图，比较中间那个绿色的和另外一个绿色的距离，以及中间绿色到蓝色的距离

如果不考虑数据的分布，就是直接计算欧式距离，那就是蓝色距离更近

但实际上需要考虑各分量的分布的，呈椭圆形分布

蓝色的在椭圆外，绿色的在椭圆内，因此绿色的实际上更近

马氏距离除以了协方差矩阵，实际上就是把右上角的图变成了右下角

一个例子

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