1.一阶微分方程

1.数值方法

1.1 欧拉方法

  一阶微分方程$d y / d x=f(x, y)\tag{1}$dy/dx=f(x,y)(1)

以及初值$y\left(x_{0}\right)=y_{0}$y(x0​)=y0​给定了函数$y(x)$y(x)在初值点$(x_0,y_0)$(x0​,y0​)的切线斜率$f(x_0,y_0)$f(x0​,y0​)。以该初值为起点，以切线为方向，按照某步长$\Delta x=x_1-x_0$Δx=x1​−x0​变化到新点$（x_1,y_1）$（x1​,y1​）。这就是欧拉方法，用公式表述为式(1):
$y_{1}=y_{0}+\Delta x f\left(x_{0}, y_{0}\right)\tag{2}$y1​=y0​+Δxf(x0​,y0​)(2)

1.2 龙格库塔方法

  欧拉方法也别称为一阶龙格库塔法。
  二阶龙格库塔法的通式为：
$k_{1}=\Delta x f\left(x_{n}, y_{n}\right), \quad k_{2}=\Delta x f\left(x_{n}+\alpha \Delta x, y_{n}+\beta k_{1}\right), \quad y_{n+1}=y_{n}+a k_{1}+b k_{2}\tag{3}$k1​=Δxf(xn​,yn​),k2​=Δxf(xn​+αΔx,yn​+βk1​),yn+1​=yn​+ak1​+bk2​(3)

并满足

$a+b=1，\alpha b=\beta b=1 / 2\tag{4}$a+b=1，αb=βb=1/2(4)

2. 可分离变量的一阶方程

  可分离变量的一阶方程可写为
$g(y) \frac{d y}{d x}=f(x), \quad y\left(x_{0}\right)=y_{0}\tag{5}$g(y)dxdy​=f(x),y(x0​)=y0​(5)

两边从$x_0$x0​到$x_1$x1​进行积分，$\int_{x_{0}}^{x} g(y(x)) y^{\prime}(x) d x=\int_{x_{0}}^{x} f(x) d x\tag{6}$∫x0​x​g(y(x))y′(x)dx=∫x0​x​f(x)dx(6)

进行变量替换$u=y(x), d u=y^{\prime}(x) d x$u=y(x),du=y′(x)dx，并改变积分上下限为$y\left(x_{0}\right)=y_{0}$y(x0​)=y0​和$y(x)=y$y(x)=y。因此有$\int_{y_{0}}^{y} g(u) d u=\int_{x_{0}}^{x} f(x) d x\tag{7}$∫y0​y​g(u)du=∫x0​x​f(x)dx(7)

3. 一阶线性微分方程

  形如$\frac{d y}{d x}+p(x) y=g(x), \quad y\left(x_{0}\right)=y_{0}\tag{8}$dxdy​+p(x)y=g(x),y(x0​)=y0​(8)

的方程。微分方程的求解借助于名为积分因子的函数$\mu(x)$μ(x)的求解。积分因子是这样一个函数，它乘以式(8)后得到的式子为
$\mu(x)\left[\frac{d y}{d x}+p(x) y\right]=\mu(x) g(x)\tag{8}$μ(x)[dxdy​+p(x)y]=μ(x)g(x)(8)

而该式左边等于一个积分
$\mu(x)\left[\frac{d y}{d x}+p(x) y\right]=\frac{d}{d x}[\mu(x) y]\tag{9}$μ(x)[dxdy​+p(x)y]=dxd​[μ(x)y](9)

由$\frac{d}{d x}[\mu(x) y]=\mu(x) g(x)$dxd​[μ(x)y]=μ(x)g(x)，利用初值$y\left(x_{0}\right)=y_{0}$y(x0​)=y0​并令$\mu\left(x_{0}\right)=1$μ(x0​)=1，可得$\mu(x) y-y_{0}=\int_{x_{0}}^{x} \mu(x) g(x) d x$μ(x)y−y0​=∫x0​x​μ(x)g(x)dx，求得：
$y(x)=\frac{1}{\mu(x)}\left(y_{0}+\int_{x_{0}}^{x} \mu(x) g(x) d x\right)\tag{10}$y(x)=μ(x)1​(y0​+∫x0​x​μ(x)g(x)dx)(10)

为求积分因子，展开式(9)，得
$\frac{d \mu}{d x}=p(x) \mu, \quad \mu\left(x_{0}\right)=1\tag{11}$dxdμ​=p(x)μ,μ(x0​)=1(11)

这是可分离变量微分方程，得
$\mu(x)=\exp \left(\int_{x_{0}}^{x} p(x) d x\right)\tag{12}$μ(x)=exp(∫x0​x​p(x)dx)(12)

注解：积分因子是构造出来的。