插值

多项式插值：已知一条确定曲线的若干实例，尽可能通过已知条件用多项式模拟。（泰勒公式模拟确定函数）
分段插值：把曲线分成多段分别使用多项式插值进行模拟。
三角插值：使用三角多项式模拟曲线。

拉格朗日插值

拉格朗日插值：一种直接的一次性将已知条件全部用上的模拟。于是定义基函数使 每一个已知点对应一项基函数。

基函数：在此点函数值为1，其它点为0的函数。
形如：

每个基函数添加相应函数值为系数，组成拉格朗日插值函数。

马同学拉格朗日插值形象图解

引入记号
其导数为（取ln）

带入确切x有
拉格朗日插值函数可以写成

截断误差：

拉格朗日余项

1.首先要求此导数存在
2.其次无法确切知道，在精确计算中取误差最大值
即n+1阶导数的无穷范数

于是有

若原函数本身为n阶多项式，则误差为零。

牛顿插值

牛顿插值：通过已知条件逐项模拟曲线。

马同学牛顿插值

在一些情况下（例如天文）已知量是不断增长的，要不断的的更新数据来更好的模拟曲线就不能采用一次性模拟的方法，特别是数据量大的时候。

第一项为第一个点的函数值
此后

即使添加的项不影响之前的k-1个点的函数值，并且补全前k-1个点没有模拟全的第k个点的数值。

定义均差：（均差是牛顿插值的规律的一种表达，同基函数目的相同，目的是为了让看起来复杂繁琐的方法便的有章可循，并不是先有基函数和均差才有的相应插值）

均差定义：

均差性质：
1.可表示为线性组合（表明均差与次序无关）

2.通过推导（无需自己推导，直接用思想）

可以这么理解（重点）：
k+1阶均差为两项k阶均差推出，其中分母是分子上两项除共有的x外的特有的x相减，次序与这两项k阶均差相同

3.均差与导数的关系

仅看公式仍然晦涩，手工计算时为了方便计算以及检查，常先写出均差表。
均差表：

注：这只是均差表的一种形式，也是很形象的一种。
均值表中核心是对角线上的均差，由上述均值性质2可以知道，凑出一个k阶均差，使用的两个k-1项均差是可以任意的，也就是

这样定义也不会影响对角线上的均差，均差表依旧有效。（需要运算的步骤相等，无好坏之分)

牛顿插值法：

对于误差有

也就是再找一个点，求出其相应均差表对角线位置的均差，类似牛顿插值产生的那一项即为误差，这个点可以是已知的，也可以近似的用模拟出来的点代替。