• 本章要点
• 工程分析中的数值分析方法以及计算机辅助工程分析的基本知识。
• 微分方程的等效积分弱形式。
• 有限元方法的组成模块和计算流程。
• 加权残值法和虚功原理在构建有限元列式中的作用。

1.1工程分析中的数值分析方法

• 为设计、构建及运行一个工程系统,工程师须先对这些工程系统的行为(结构特性、内部环节及其子系统)充分认识
  • 这个过程就是工程分析。
• 图1-1为传统工程分析步骤,方块代表不同分析阶段的模型,
  • 圈代表四个分析步骤。
• 这五个模型事实上是同一事情的不同表示方式:
  • 工程系统: 真实世界中的实物,
  • 分析模型: 一个简化的抽象模型。
  • 数学方程式常具有微分方程组的形式,
    • 可是解析解或数值解
    • 如果数值解则分析模型称数值模型。

 

 

• 工程师工程分析时,多用(CAE)来完成图1-2步骤中的许多
• 如果对数学方法或计算机辅助工程分析专业不熟
  • 可将“建立方程组"”及“解方程式”这两步及其前后相关的模型(分析模型、数学方程式及数值解答)用一个“黑箱”包装起来。
  • 黑箱代表一个封闭的计算机处理核心:
    • 计算机自动将一个分析模型转换成数学方程式
    • 且方便地求解
    • 输入数据在黑箱外部注入
    • 最后的数值结果也在黑箱外部以图形方式表示

 

 

• 图1-3为计算机辅助工程分析的步骤,黑箱内代表一个求解工程问题的计算机程序:
  • 以一个分析模型为输入,而以数值解为输出。
• 力学家数学以及计算机家
  • 发展出求解工程问题中的微分方程的方法
  • FDM、FEM、边界元法
  • 本质上将求解区域网格离散化,然后通过求解方程获得数值结果。
• 发展最成熟、应用最广泛的是有限元法。

 

 

• 把计算机辅助工程分析由图1-2改成图1-3。
• 当用有限元分析方法时,图1-4就是图1-2的特殊。
• 图1-4中,分析模型(或有限元模型)和数值求解还是在黑箱里面,
  • “建立模型方程”及“求解方程”两步用“有限元分析”来取代“构建系统数学模型”步骤常称为“前处理”
  • “数据处理及显示”称“后处理”
• 图1-4把计算机辅助工程分析分成三个主要步
  • 前处理
  • 有限元分析
  • 后处理

1.2微分方程的等效积分形式

1.2.1 控制微分方程

• 许多工程问题的本质是物理问题,可用控制微分方程描述其物质变
  化的本质过程。
• 考虑空间、时间、时滞的确定性条件,则形成可以求解的边值以及初
  始条件

• 为微分方程中对于基本未知函数的微分算子。

 

• 波动方程的形式为