读书笔记之《高等数学》---第二章 导数与微分

本章目录
1.导数概念
2.导数的求导法则
3.高阶导数
4.隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
5.函数微分

导数的概念
从两个例子引入：
1.之前运动的速度：当位置随时间变化而变化时，在位置变化∆s，与时间增量∆t的比值，就是在∆t这段时间的平均速度，当∆t接近于0时，如果∆s与∆t的极限存在，则这个极限值就是∆s在∆t时刻的瞬时速度，称为导数
2.切线问题：在一段弧线去两点画割线，当两点不断接近时，割线越来越接近切线，切线未极限。此时切线的斜率为∆y与∆x的比值，为改点的极限。

导数的定义：

注意：求导本质是求极限的过程。

如果y=f(x)在开区间N内的每一点都可导，每一点的导数值构成一个新函数，称为导函数，

导数的几何意义：

函数的可导性与连续性的关系：在某一点可导，则在该点必连续，在某点连续，补一点在该点可导。

函数求导法则

基本求导法则与求导数公式汇总：

高阶导数





莱布尼兹公式：

隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
隐函数：x-y+1=0
隐函数显化：y=x+1
隐函数的导数：由于有些隐函数显化非常困难，所以可以将隐函数中的y直接看成x的函数，将隐函数看成一个复合函数直接求导。例如

参数方程：

参数方程确定的函数显示表示：

由参数方程所确定的函数的导数：和隐函数一样，有些参数方程确定的函数显示表示特别困难，所以需要直接对其求导的方法。求得x的反函数，将其带入y的函数中。

相关变化率：x=x(t)及y=y(t)都是可导的，从而x的导数和y的导数之间也存在一定的关系，这两个相互依赖的变化率称为相关变化率

函数微分

基本初等函数的微分公式：


函数和、差、积、商的微分法则：

复合函数的微分法则：

微分在近似计算中的应用：

精确值为A，近似值为a，则 |A-a| 为绝对误差，|A-a| / a为相对误差