离散时间傅里叶变换（理解推导）

离散时间傅里叶变换（DTFT）

Tips: 此贴适合有一定傅里叶变换和傅里叶级数基础的人观看。意在帮助
讲解了从连续时间傅里叶变换（就是我们正常所用到的傅里叶变换）到离散时间傅里叶变换的简单推导

在学习离散傅里叶变换之前，首先我们要了解傅里叶级数（Fourier Series）和傅里叶变换 （Fourier Transform）

傅里叶级数和傅里叶变换针对的都是连续函数，假如说有一个离散序列x(n)，怎么找到它的相对应的傅里叶变换呢？

假设我们有一个连续函数 x(t)，对x(t)取样，取样周期为T_s 我们可以得到：

可以很容易看出后半部分为一个周期函数，周期
为
，而且每当 t = nT_s 时该函数值为1。

根据傅里叶级数性质，我们可以将其写为傅里叶级数

根据傅里叶级数公式，求得

然后我们得到了取样函数的另一种表达方式：

这里后半部分是以傅里叶级数的形式来表示出来的

根据傅里叶函数的定义对x_s(t)求傅里叶变换

这里将我们上面所求的x_s(t)的表达式代入

根据积分性质将上述式子改写为：

根据时间平移特性，很容易观察出后面的积分项可以写成连续函数x(t)的傅里叶变换平移kf_s之后得到的图像。

通过表达式我们很容易看出，离散时间傅里叶变换可以看成，连续时间傅里叶变换的幅度先变为原来的1/Ts，然后有规律的向左向右平移kf_s单位。 这意味着DTFT是周期函数。周期为f_s。
我们可以根据下图来感受一些DTFT 和 CTFT的关系：

其实很多工科的学生不需要理解推导，以上推导是帮助我们更好的理解DTFT，以及它和傅里叶变换的关系，通过推导我们可以明白为什么DTFT是周期性的。其实很多工科的学生不需要理解推导，只对感兴趣如何计算的，可以直接看下页公式。
DTFT的定义式：

如果学过z变换的同学，看到这个公式肯定很熟悉，因为z=e^{jw}
将其带入
这不就是z变换的定义式吗？
所以我们可以通过z变换得到DTFT：

当然也可以根据定义来计算
以下是一个很简单的计算，大家可以用两种方法试着计算来帮助自己理解。