连续时间傅里叶变换

对连续时间非周期信号建立复指数信号的线性表示是傅里叶最重要的贡献之一。傅里叶认为，一个非周期信号能够看成是周期无限长的周期信号。当周期增大时，基波频率减小，当周期为无穷大时，这些频率分量构成连续域，从而傅里叶级数的求和就变成了积分。

回顾连续时间周期信号的傅里叶级数

${\boxed{x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jkw_0t}, k = 0, \pm 1, ...\qquad a_k=\frac 1T \int_T x(t)e^{-jkw_0t}dt}}$x(t)=k=−∞∑+∞​ak​ejkw0​t,k=0,±1,...ak​=T1​∫T​x(t)e−jkw0​tdt​

连续时间非周期信号的傅里叶变换

考虑一个连续时间信号$x(t)$x(t)具有有限持续期，即当$|t|>T_1$∣t∣>T1​时，$x(t)=0$x(t)=0，可以构造一个周期信号$\tilde x(t)$x~(t)，使$x(t)$x(t)为$\tilde x(t)$x~(t)的一个周期。根据傅里叶级数，有：
$\tilde x(t) = \sum_k a_ke^{jkw_0t}$x~(t)=∑k​ak​ejkw0​t
$a_k = \frac 1T \int_T \tilde x(t)e^{-jkw_0t}dt = \frac 1T \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-jkw_0t}dt$ak​=T1​∫T​x~(t)e−jkw0​tdt=T1​∫−∞+∞​x(t)e−jkw0​tdt
定义$X(jw) = Ta_k = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-jwt}dt$X(jw)=Tak​=∫−∞+∞​x(t)e−jwtdt
其中$a_k = \frac 1T X(jkw_0)$ak​=T1​X(jkw0​)
$\tilde x(t) = \sum_k \frac 1T X(jkw_0)e^{jkw_0t} = \sum_k \frac 1{2\pi} X(jkw_0)e^{jkw_0t}w_0$x~(t)=∑k​T1​X(jkw0​)ejkw0​t=∑k​2π1​X(jkw0​)ejkw0​tw0​
当$T->\infty$T−>∞，$\tilde x(t)$x~(t)趋向于$x(t)$x(t)，$w_0 -> 0$w0​−>0
$x(t) = \frac 1{2\pi} \int_{\infty}X(jw)e^{jwt}dw$x(t)=2π1​∫∞​X(jw)ejwtdw
${\boxed{x(t) = \frac 1{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}X(jw)e^{jwt}dw \qquad X(jw) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-jwt}dt}}$x(t)=2π1​∫−∞+∞​X(jw)ejwtdwX(jw)=∫−∞+∞​x(t)e−jwtdt​

收敛

尽管在推导时采用的信号是有限持续期的，事实上这一对变换对相当广泛的一类无限持续期的信号仍然成立。
傅里叶变换的Dirichlet条件：

• x(t)绝对可积，即$\int_{\infty}|x(t)|dt<\infty$∫∞​∣x(t)∣dt<∞
• 在任何有限区间内，$x(t)$x(t)只有有限个最大值和最小值
• 在任何有限区间内，$x(t)$x(t)只有有限个不连续点

连续时间周期信号的傅里叶变换

对周期信号也建立傅里叶变换，可以在统一对框架内考虑周期和非周期信号。周期信号变换后，在频域由一串冲激所组成，冲激面积正比于傅里叶级数对系数。
$X(jw) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}2\pi a_k \delta(w-kw_0)$X(jw)=∑k=−∞+∞​2πak​δ(w−kw0​)

例子

• 求信号$x(t) = e^{-at}u(t), a>0$x(t)=e−atu(t),a>0的傅里叶变换
  $X(jw) = \int_0^{\infty}e^{-at}e^{-jwt}dt = -\frac {1}{a+jw}e^{-(a+jw)t}|_0^{\infty} = \frac {1}{a+jw}, a>0$X(jw)=∫0∞​e−ate−jwtdt=−a+jw1​e−(a+jw)t∣0∞​=a+jw1​,a>0
  
• 求信号$x(t)=\left\{ \begin{aligned}\ 1 && |t| < T_1\\ 0 && other\\ \end{aligned} \right.$x(t)={ 10​​∣t∣<T1​other​的傅里叶变换
  $X(jw) = \int_{-T_1}^{T_1}e^{-jwt}dt = \frac {2sinwT_1}{w}$X(jw)=∫−T1​T1​​e−jwtdt=w2sinwT1​​