矩阵特征多项式的系数公式

时间是个常数，但对勤奋者来说，是个‘变数’。用‘分’来计算时间的人比用‘小时’来计算时间的人时间多59倍。 ——雷巴柯夫

关于$n$n阶矩阵的特征多项式，书上只给出了最高次项、次高次项和常数项：

$|\lambda E-A|=\lambda^n-(tr A)\lambda^{n-1}+\cdots+(-1)^n|A|. \quad \quad (1)$∣λE−A∣=λn−(trA)λn−1+⋯+(−1)n∣A∣.(1)

你是不是很好奇：省略的项的系数如何计算呢？本文给出一个简单介绍。

1. 预备知识

矩阵的 $k$k 阶主子式的概念：设 $n$n 阶矩阵$A=(a_{ij})$A=(aij​). 其 $k$k 阶主子式为$det A \begin{pmatrix} i_1,i_2,\cdots,i_k \\ i_1,i_2,\cdots,i_k \end{pmatrix}.$detA(i1​,i2​,⋯,ik​i1​,i2​,⋯,ik​​). 简单地说，就是在$A$A中取$i_1,i_2,\cdots,i_k$i1​,i2​,⋯,ik​行，同时取$i_1,i_2,\cdots,i_k$i1​,i2​,⋯,ik​列，这些行与列的交叉点的元素构成的子矩阵的行列式.

2 特征多项式的系数的一般公式

设$f(\lambda)=|\lambda E-A|=\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0.$f(λ)=∣λE−A∣=λn+an−1​λn−1+⋯+a1​λ+a0​.
那么，
$a_{n-i}=(-1)^i\times A$an−i​=(−1)i×A的所有$i$i阶主子式的和.

特别地，当$A$A为3阶矩阵时，

$f(\lambda)=|\lambda E-A|=\lambda^3-(a_{11}+a_{22}+a_{33})\lambda^2+\left(\begin{vmatrix}a_{11} &a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{22} &a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11} &a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}\right)\lambda+|A|. （2）$f(λ)=∣λE−A∣=λ3−(a11​+a22​+a33​)λ2+(∣∣∣∣​a11​a21​​a12​a22​​∣∣∣∣​+∣∣∣∣​a22​a32​​a23​a33​​∣∣∣∣​+∣∣∣∣​a11​a31​​a13​a33​​∣∣∣∣​)λ+∣A∣.（2）

3 应用

设$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&4\\3&4&1\end{pmatrix}$A=⎝⎛​123​214​341​⎠⎞​,计算$A$A的特征多项式.

解： $a_{11}+a_{22}+a_{33}=1+1+1=3,$a11​+a22​+a33​=1+1+1=3,

$\begin{vmatrix}a_{11} &a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{22} &a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11} &a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}=-26,$∣∣∣∣​a11​a21​​a12​a22​​∣∣∣∣​+∣∣∣∣​a22​a32​​a23​a33​​∣∣∣∣​+∣∣∣∣​a11​a31​​a13​a33​​∣∣∣∣​=−26,

$|A|=20,$∣A∣=20,

所以，

$f(\lambda)=|\lambda E-A|=\lambda^3-3\lambda^2-26\lambda-20.$f(λ)=∣λE−A∣=λ3−3λ2−26λ−20.

4 公式的推导

欢迎扫描下图中的二维码关注微信公众号：大哉数学之为用