拉格朗日插值算法分析

这几天一直研究拉格朗日多项式，今天将自己对拉格朗日多项式的理解写在这里，方便大家交流。

在数值分析中，拉格朗日常用于多项式插值。假定提供一组数据点[xi,yi]，拉格朗日插值多项式就是由这些

数据的线性运算得到的。

拉格朗日插值算法分析

其中基本的多项式有以下公式计算得到

拉格朗日插值算法分析

注意

1.第一提供的xi应该是没有相同的，否则不能应用此算法

2.对于每一个xi，yi都只对应一个值

3.对于i~=j，lj（x）包括x-xi，因此，整个表达式的乘积将是0。

拉格朗日插值算法分析

4.相反

拉格朗日插值算法分析

5.因此yi*li（x）=yi，因此在每一个点xi，L（xi） = yi+0+0+........+0=yi，表明这个拉格朗日插值算法的正确性。

举例说明

x = [1 2 3 ] y = f(x)=[1 4 9]

则L(x) = 1*(x-2)*(x-3)/{(1-2)(1-3)}+4*(x-1)(x-3)/{(2-1)*(2-3)}+9(x-1)(x-2)/{(3-1)(3-2)}=x^2

下面看一下MATLAB的具体代码实现过程。

[html]view plain copy
 
clear,clc;  
x0 = linspace(-10,10,21);  
y0 = x0.^2;  
x = linspace(-20,20,100);  
n = size(x0,2);  
L = ones(n,size(x,2));  
for ii = 1:n  
    for jj = 1:n  
        if(ii~=jj)  
            L(ii,:) = L(ii,:).*(x-x0(jj))./(x0(ii)-x0(jj));  
        end  
    end  
end  
y = 0;  
for ii = 1:n  
    y = y +y0(ii).*L(ii,:);  
end  
y1 = x.^2;  
plot(x,y1,'ro',x,y,'b*')  
legend('source data','langrange')  
title('langrange interplation vision')  

拉格朗日插值算法分析

虽然样本数据点只有21个，但足以看出插值曲线足以和满足标准了，插值效果还是很好的

拉格朗日插值算法分析

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