二元、三元一次方程组的求解

消元法

如线性方程组：

\begin{matrix} (1) & a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} = b_{1} \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} = b_{2} \end{matrix}

(1) \times a_{22} ： a_{11} a_{22} x_{1} + a_{12} a 22 x_{2} = b_{1} a_{22}

(2) \times a_{12} ： a_{21} a_{12} x_{1} + a_{12} a 22 x_{2} = b_{2} a_{12}

两式相减得：

(a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}) x_{1} = b_{1} a_{22} - b_{2} a_{12}

(a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}) x_{2} = b_{2} a_{11} - b_{1} a_{21}

当

a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} \neq 0

时，得：

x_{1} = \frac{b_{1} a_{22} - a_{12} b_{2}}{a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}}

x_{2} = \frac{b_{2} a_{11} - a_{21} b_{1}}{a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}}

可知，两式分母相同，且方程组的四个系数决定

\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array} = 1 \times 5 - 2 \times 4

方程组为：

\begin{matrix} (1) & x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} = - 2 \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & 2 x_{1} + x_{2} - 3 x_{3} = 1 \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & - x_{1} + x_{2} - x_{3} = 0 \end{matrix}

可解为：

D = \begin{array}{ccc} 1 & - 2 & 1 \\ 2 & 1 & - 3 \\ - 1 & 1 & - 1 \end{array} = 1 \times 1 \times (- 1) + (- 2) \times (- 3) \times (- 1) + 2 \times 1 \times 1 - 1 \times 1 \times (- 1) - (- 2) \times 2 \times (- 1) - 1 \times (- 3) \times 1 = - 5 \neq 0

D_{1} = \begin{array}{ccc} - 2 & - 2 & 1 \\ 1 & 1 & - 3 \\ 0 & 1 & - 1 \end{array} = (- 2) \times 1 \times (- 1) + 1 \times 1 \times 1 - (- 2) \times 1 \times (- 3) - (- 2) \times 1 \times (- 1) = - 5 \neq 0

D_{2} = \begin{array}{ccc} 1 & - 2 & 1 \\ 2 & 1 & - 3 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array} = 1 \times 1 \times (- 1) + (- 2) \times (- 3) \times (- 1) - (- 1) \times 1 \times 1 - (- 2) \times 2 \times (- 1) = - 10 \neq 0

D_{3} = \begin{array}{ccc} 1 & - 2 & - 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 0 \end{array} = (- 2) \times 1 \times (- 1) + (- 2) \times 2 \times 1 - (- 1) \times 1 \times (- 2) - 1 \times 1 \times 1 = - 5 \neq 0

所以方程式的解为：

x_{1} = \frac{D_{1}}{D} = 1, x_{2} = \frac{D_{2}}{D} = 2, x_{3} = \frac{D_{3}}{D} = 1

如方程组：

\begin{matrix} (1) & a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + . . . + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + . . . + a_{2 n} x_{n} = b_{2} \end{matrix}

…

\begin{matrix} (2) & a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + . . . + a_{m n} x_{n} = b_{m} \end{matrix}

其中：

m \in N ； a_{i j} \in N ， 称 为 系 数 ； b_{i} \in N ， 称 为 常 数 项

求解过程：
利用系数矩阵和增广系数矩阵求解：
线性方程组

高斯消元法的过程就是：对增广矩阵的对换、倍乘、倍加

1.若矩阵有零行（即元素全为0的行），则零行矩阵的下方；
2.对于矩阵的非零行，从左起第一个非零元素称为此行的主元，矩阵下面行的主元所在列一定在上面行的主元所在列的右端（从上到下，主元左边0的个数依次增加）

线性方程组

1.主元都是1；
2.每个主元所在列中，除主元其他的元素都是0.

任一矩阵都可以通过矩阵的初等行变换化为阶梯形矩阵，进而可再化为简化的阶梯形矩阵

1. 若 阶 梯 形 矩 阵 有 一 个 主 元 在 最 后 一 列 （ 即 有 一 行 只 有 常 数 项 不 为 0 ） ， 则 方 程 组 无 解 ；

2. 若 矩 阵 的 主 元 都 不 在 最 后 一 列 ， 设 矩 阵 有 r 个 非 零 行 (r \leq n) ， 也 即 有 r 个 主 元 ：

1 ） 若 r = n ， 这 时 前 n 列 每 一 列 上 都 有 一 个 主 元 ， 则 方 程 式 组 有 唯 一 解

2 ） 若 r < n ， 则 方 程 式 组 有 无 穷 解

结论：

方程组的常数项全为0则是齐次线性方程组，否则是非齐次线性方程组。

推导可知：

1. 主 元 一 定 不 在 增 广 矩 阵 的 最 后 一 列 ， 齐 次 线 性 方 程 组 一 定 有 解 ；

2. x_{i} = 0 (i = 1, 2, 3, . . ., n) 一 定 是 一 组 解 ， 成 为 零 解

3. 若 有 非 零 解 ， 则 它 一 定 有 无 穷 多 个 解

定理：

 

 若齐次线性方程组的方程个数m小于未知量的个数n，即m < n时，齐次线性方程一定有非零解

参考课程：
《线性代数（先修课）》——学堂在线(清华大学，杨晶老师)