数学基础 - 第十九章 一次函数

 

 

19.1 函数

 

19.1.1  变量与函数

 

 

 

 

这些问题反映了不同事物的变化过程。其中有些量的数值是变化的,例如时间t,路程s,售出票数工,票房收入y…有些量的数值是始终不变的,例如速度60 km/h、票价10元/张……在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量(variable)，数值始终不变的量为常量（constant).

 

 

 

 

 

 

 

 

一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量(independent variable).y是x的函数(function)。如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

 

可以认为:在前面问题(1)中,时间t是自变量,路程s是t的函数,当t=1时,图数值s=60,当t=2时,函数值s=120:在心电图中,时间x是自变量,心脏部位的生物电流y是x的函数:在人口数统计表中,年份x是自变量,人口数y是x的函数,当上=2010时,函数值y=13.71.

从上面可知,函数是刻画变量之间对应关系的数学模型,许多问题中变量之间的关系都可以用函数来表示.

 

 

像y=50一0.lx这样,用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法,这种式子叫做函数的解析式 (analytic expression).

 

 

 

19.1.2 函数的图像

 

 

 

 

 

 

一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象(graph).图19.1-3的曲线即函数

                                                            S =  x² (x>0)

的图象.

 

 

 

19.2 一次函数

 

19.2.1 正比例函数

 

 

 

 

一般地,形如y=kr(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数(proportional function)，其中k叫做比例系数

 

 

 

 

 

 

 

 

 

一般地,正比例函数y=kr(k是常数,k≠0)的图象是一条经过原点的直线,我们称它为直线y=kr.当k>0时,直线y=kx 经过第三、第一象限,从左向右上升,即随着x的增大y也增大;当k<0时,直线y=kx经过第二、第四象限,从左向右下降,即随着x的增大y反而减小.

 

 

 

19.2.2 一次函数

 

 

 

一般地,形如y=kx+b(k、b是常数。k≠0）的函数,叫做一次函数(linear function)，当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

 

 

 

 

 

当k>0时,y随x的增大而增大;

当k<0时,y随x的增大而减小。

 

 

 

 

 

 

像例4这样先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而得出函数解析式的方法,叫做待定系数法,

 

 

 

 

 

 

19.2.3 一次函数与方程,不等式