让微积分穿梭于工作与学习之间（19）：圆弧直线的弧长及其在趋于直线时的极限

弧长这一项，在我们的项目里暂时还没用到，然后当时我以为这一项要把圆弧和直线统一起来也要面临夹逼定理的问题，无法在非数学编程语言中实现。同时我还觉得这个地方需要用到定积分来解决，所以没把它放前面。

然而，得益于标准位置上的一些计算结果，我发现弧长的计算也不会太过困难，当然了夹逼定理那一步还是跨不过去，因此非数学编程语言仍要通过if进行区分。

圆弧的长度公式在形式上非常简单，如下所示。

其中α为圆心角大小，R为半径。

然后α可以用反三角函数替换为b的表达式，R可以用前面计算的结果（不过只是标准位置上的，如下图所示）

然后我们来计算弧长在b趋于0时的极限。

这是一个0跟无穷相乘的表达式，我们可以把它化成除法的形式然后用洛必达法则进行计算，也可以把反三角函数部分用一个等价无穷小进行替代。

由

得

令x=arctanu，然后上面的式子化为

可见，上面的arctanb可以通过这一结论替换为b，我们现在开始化简l的极限表达式。

哇塞，还真是S和E的连线长度耶。

至此，圆弧直线的弧长及其趋于直线时的极限已推导完毕，是不是太简单了。嗯没错，这里只是标准位置下的推导，我们换成一般位置看看。

在标准位置的时候，我们通过构建直角三角形来求得半径。此处我们也用类似的方法，如下图所示。

 

在标准位置的时候，我们用SOcsc(α/2)来算得半径CS，现在我们就改用SO'csc(α/2)。

SO'的计算并不难，它等于SE长度的一半，而S和E的坐标都已知，因此用两点间距离公式即可求得。

然后csc(α/2)的结果可以把15篇中的推导结果搬过来。

然后半径就能算出来了。

跟标准位置的结果对照

其差异仅仅是直角边的结果发生了更改

并且被替换的部分全程都是常量，所以本课题换成一般情况也没见得有难度的增加。

当然我们还是形式性地把弧长公式代入到一般情况中。

同样的，对b在趋于0处取极限看看结果。

嗯非常好，正好等于线段SE的长度。

虽然弧长的推导很简单，但很可惜，极限部分仍然依赖于夹逼定理，所以长度的部分在非数学编程语言中还是得用if进行区分。

至于面积的计算，前面有提到过，也要针对直线和圆弧进行区分。不过我还在研究着，看在极坐标的情况下能否给出一个不需要if也能实现的公式。实现到了我会给大家分享出来，敬请期待！然后下篇我打算讲讲曲率和二阶导数的东西，正在酝酿，先撤。祝大家鼠年快了！