让微积分穿梭于工作与学习之间（20）：圆弧直线的曲率及其在趋于直线时的极限

曲率对于一般的编程人员来说似乎已经过于高深，但是我们的项目中还是用到了。

在第17篇中，我们指出了按角度排序需要用到圆弧的切线，但是随着问题的逐步深入，仅仅算切线是不够的。因为不同的线条，切线可能完全重合，如下图所示，AB，AC，AD，AE的切线均为AD，所以单算切线无法得到角度排序的结果。

但是它们的“角度”大小是不一样的，AE往着负方向（此处假定逆时针为负）弯曲的速度比AC要快，所以AE要排在AC的前面，然后AD完全没弯曲，所以AD在AC的后面。然后AB虽然也有弯曲，但它是往着正向去弯曲的，因此需要排在AD的后面。

数学教材中指出，一阶导数反映的是变速直线运动的瞬时速度，而反映瞬时加速度的，则是二阶导数了。然后这里我们用了一阶导数求得弧线的角度，那么角度的变化速度，我就很理所当然地套用了二阶导数了。结果发现怎么算都是不对的。究其原因，是在于二阶导数所提及的加速度仅仅是变速直线运动，如果不是直线，那么就需要通过类似于正交分解的方法分成两个方向单独计算。而此处我们要研究的是角度变化，因此直接套二阶导数并不合适。

角度的变化速度，数学上已经有现成的概念了，它被定义为曲率K，计算方法如下。

这个公式在实际中不太好操作，因此有化为用导数计算的式子。

可见它也用到了二阶导数。

现在我们的圆弧直线方程是一个多值的隐函数，二阶导数的求解会过于繁琐，所以此处我打算偷懒一下，直接利用一个现成的结论，就是圆的曲率处处相等，并且等于半径的倒数。

这次，我们的R不再取标准位置的值了，而以一般的位置代之，其结果在上一篇有推导过，我们把它搬过来。

于是有

大家可能会发现，我这个地方写得并不严谨，因为按定义，曲率是不存在负数的，半径也是，但是凸度可正可负，当b取负数的时候，半径和曲率都变负数了。我从15篇开始，全程都没加绝对值符号对此进行控制，其实是为了贪图方便。毕竟在很多场合，如果这些变量被绝对值号统一成非负数了，那么到后面又得重新分开情况讨论，从而对我们研究核心问题带来太多的干扰。

那串长长的根号大家不用怕，也就是一个常量而已。我们在这个公式下对取b趋于0时的极限看看。

也就是说，弧线趋于直线的时候，曲率趋于0，这跟直线的曲率处处为0的结论相吻合。

由于这里的K可正可负，所以本文开头给出的图里面，弯曲的方向也能通过K的符号获取得到（说白了就是看b的符号）。然后在项目中，我们还需要注意一点，如果图中的A点是某条弧线（比如AB）的终点而非起点，那么从B到A的走向将和b的符号相反，此时需要取反一下K值才能得到正确的结果。

虽然半径趋于无穷导致1/R无法在非数学编程语言中无法计算（少数是支持的，我用的AS计算1/无穷大可以得到0），但是当它变成b的表达式之后，我们发现其极限完全可以用纯初等函数的表达式进行代入得到，因此曲率无须用if进行区分。