让微积分穿梭于工作与学习之间（16）：圆弧直线的一般方程及其在趋于直线时的极限

在进行曲线求交的时候，一套很通用的方案是将曲线化为一般式再进行方程求解。对于二次方程来说，其一般式就跟我在讲矩阵的时候一样，每个项都拆开并且带上系数。用这种方程的时候，我们一般不会再关注其几何特性。

在上篇，我们在很标准的环境下求出了圆弧直线的圆心和半径，并且得出了它们在曲线趋于直线时均趋于无穷大这样的一个结论，所以在非数学编程语言中它们已经失去了大部分的运算能力。但是后续的很多计算却又离不开它们，因此在早期我的代码都是直线和圆弧通过if进行区别看待。而事实上通过手动运算取极限之后，不少的代码都能合并到一段代码中进行实现，它的一般方程就是一个例子。

我们把上篇用到的图和圆心半径的计算结果搬过来。

 

然后圆的标准方程是这个样子

于是有

b在分母上，所以直接展开后，b=0大概率不是实数范围内可以进行计算的方程（小概率是分母在b的部分全被抵消），所以我们先去一下分母，给等式两端同时乘以4b^2。这是极限的精粹所在，因为趋于0不代表等于0，所以这时候的去分母是成立的。

注：平方号内部的部分乘以2b即可。

然后我们展开，得到

去掉公因子4b，得到

化简之后发现这条方程还是蛮简单的，此时b不在分母，并且所有的函数都为连续函数，b趋于0的结果按b=0来计算即可。对左侧的b取极限，得到

于是方程便化为

它是一条跟x轴完全重合的直线。而按照凸度的定义，它就是上图中S和E的连线，正好跟我们所推导出来的方程完全吻合！

因此，需要同时处理圆弧和直线的时候，遇到方程一般式的问题，用下面的这条方程即可通吃它们，而不必再用if进行区分。

当然了，实际项目中起点和终点的位置多半不会摆得那么地正，所以实际项目中的方程系数看起来要比这复杂得多，但它同样具备b=0为直线，否则为圆弧的特征，并且b=0时刚好为两端点的连线。

此处我也给出S和E为任意点时一般式的6个系数，有兴趣的朋友可以自行推导或者跟我讨论，方法可以是向量运算或者用我以前的矩阵思路，推荐前者。

其中，sx和sy代表起点的x和y坐标，ex和ey类似。

b趋于0时，ABC都为0，另外3个系数变成

 

公因子-1/2去掉，得到的方程为

它跟我们熟知的两点式方程

完全一致。

下一篇我们会给出圆弧直线在端点上的切线斜率计算，它在查找封闭图形的算法中有举足轻重的作用。