Regression：Case Study

回归-案例研究

问题的导入：预测宝可梦的CP值

Estimating the Combat Power(CP) of a pokemon after evolution

我们期望根据已有的宝可梦进化前后的信息，来预测某只宝可梦进化后的cp值的大小

确定Senario、Task和Model

Senario

首先根据已有的data来确定Senario，我们拥有宝可梦进化前后cp值的这样一笔数据，input是进化前的宝可梦(包括它的各种属性)，output是进化后的宝可梦的cp值；因此我们的data是labeled，使用的Senario是Supervised Learning

Task

然后根据我们想要function的输出类型来确定Task，我们预期得到的是宝可梦进化后的cp值，是一个scalar，因此使用的Task是Regression

Model

关于Model，选择很多，这里采用的是Non-linear Model

设定具体参数

$X$X： 表示一只宝可梦，用下标表示该宝可梦的某种属性

$X_{cp}$Xcp​：表示该宝可梦进化前的cp值

$X_s$Xs​： 表示该宝可梦是属于哪一种物种，比如妙瓜种子、皮卡丘…

$X_{hp}$Xhp​：表示该宝可梦的hp值即生命值是多少

$X_w$Xw​： 代表该宝可梦的重重量

$X_h$Xh​： 代表该宝可梦的高度

$f()$f()： 表示我们要找的function

$y$y： 表示function的output，即宝可梦进化后的cp值，是一个scalar

Regression的具体过程

回顾一下machine Learning的三个步骤：

• 定义一个model即function set
• 定义一个goodness of function损失函数去评估该function的好坏
• 找一个最好的function

Step1：Model (function set)

如何选择一个function的模型呢？毕竟只有确定了模型才能调参。这里没有明确的思路，只能凭经验去一种种地试

Linear Model 线性模型

$y=b+w \cdot X_{cp}$y=b+w⋅Xcp​

y代表进化后的cp值，$X_{cp}$Xcp​代表进化前的cp值，w和b代表未知参数，可以是任何数值

根据不同的w和b，可以确定不同的无穷无尽的function，而$y=b+w \cdot X_{cp}$y=b+w⋅Xcp​这个抽象出来的式子就叫做model，是以上这些具体化的function的集合，即function set

实际上这是一种Linear Model，但只考虑了宝可梦进化前的cp值，因而我们可以将其扩展为：

$y=b+ \sum w_ix_i$y=b+∑wi​xi​

x_i： an attribute of input X ( x_i is also called feature，即特征值)

w_i：weight of x_i

b： bias

Step2：Goodness of Function

参数说明

$x^i$xi：用上标来表示一个完整的object的编号，$x^{i}$xi表示第i只宝可梦(下标表示该object中的component)

$\widehat{y}^i$y​i：用$\widehat{y}$y​表示一个实际观察到的object输出，上标为i表示是第i个object

注：由于regression的输出值是scalar，因此$\widehat{y}$y​里面并没有component，只是一个简单的数值；但是未来如果考虑structured Learning的时候，我们output的object可能是有structured的，所以我们还是会需要用上标下标来表示一个完整的output的object和它包含的component

Loss function 损失函数

为了衡量function set中的某个function的好坏，我们需要一个评估函数，即Loss function，损失函数，简称L；loss function是一个function的function

$L(f)=L(w,b)$L(f)=L(w,b)

input：a function；

output：how bad/good it is

由于$f:y=b+w \cdot x_{cp}$f:y=b+w⋅xcp​，即f是由b和w决定的，因此input f就等价于input这个f里的b和w，因此Loss function实际上是在衡量一组参数的好坏

之前提到的model是由我们自主选择的，这里的loss function也是，最常用的方法就是采用类似于方差和的形式来衡量参数的好坏，即预测值与真值差的平方和；这里真正的数值减估测数值的平方，叫做估测误差，Estimation error，将10个估测误差合起来就是loss function

$L(f)=L(w,b)=\sum_{n=1}^{10}(\widehat{y}^n-(b+w \cdot {x}^n_{cp}))^2$L(f)=L(w,b)=n=1∑10​(y​n−(b+w⋅xcpn​))2

如果$L(f)$L(f)越大，说明该function表现得越不好；$L(f)$L(f)越小，说明该function表现得越好

Loss function可视化

下图中是loss function的可视化，该图中的每一个点都代表一组(w,b)，也就是对应着一个function；而该点的颜色对应着的loss function的结果L(w,b)，它表示该点对应function的表现有多糟糕，颜色越偏红色代表Loss的数值越大，这个function的表现越不好，越偏蓝色代表Loss的数值越小，这个function的表现越好

比如图中用红色箭头标注的点就代表了b=-180 , w=-2对应的function，即$y=-180-2 \cdot x_{cp}$y=−180−2⋅xcp​，该点所在的颜色偏向于红色区域，因此这个function的loss比较大，表现并不好

Step3：Pick the Best Function

我们已经确定了loss function，他可以衡量我们的model里面每一个function的好坏，接下来我们要做的事情就是，从这个function set里面，挑选一个最好的function

挑选最好的function这一件事情，写成formulation/equation的样子如下：

$f^*={arg} \underset{f}{min} L(f)$f∗=argfmin​L(f)，或者是

$w^*,b^*={arg}\ \underset{w,b}{min} L(w,b)={arg}\ \underset{w,b}{min} \sum\limits^{10}_{n=1}(\widehat{y}^n-(b+w \cdot x^n_{cp}))^2$w∗,b∗=arg w,bmin​L(w,b)=arg w,bmin​n=1∑10​(y​n−(b+w⋅xcpn​))2

也就是那个使$L(f)=L(w,b)=Loss$L(f)=L(w,b)=Loss最小的$f$f或$(w,b)$(w,b)，就是我们要找的$f^*$f∗或$(w^*,b^*)$(w∗,b∗)(有点像极大似然估计的思想)

利用线性代数的知识，可以解得这个closed-form solution，但这里采用的是一种更为普遍的方法——gradient descent(梯度下降法)

Gradient Descent 梯度下降

上面的例子比较简单，用线性代数的知识就可以解；但是对于更普遍的问题来说，gradient descent的厉害之处在于，只要$L(f)$L(f)是可微分的，gradient descent都可以拿来处理这个$f$f，找到表现比较好的parameters

单个参数的问题

以只带单个参数w的Loss Function L(w)为例，首先保证$L(w)$L(w)是可微的
$w^*={arg}\ \underset{w}{min} L(w)$w∗=arg wmin​L(w) 我们的目标就是找到这个使Loss最小的$w^*$w∗，实际上就是寻找切线L斜率为0的global minima最小值点(注意，存在一些local minima极小值点，其斜率也是0)

有一个暴力的方法是，穷举所有的w值，去找到使loss最小的$w^*$w∗，但是这样做是没有效率的；而gradient descent就是用来解决这个效率问题的

• 首先随机选取一个初始的点$w^0$w0 (当然也不一定要随机选取，如果有办法可以得到比较接近$w^*$w∗的表现得比较好的$w^0$w0当初始点，可以有效地提高查找$w^*$w∗的效率)

• 计算$L$L在$w=w^0$w=w0的位置的微分，即$\frac{dL}{dw}|_{w=w^0}$dwdL​∣w=w0​，几何意义就是切线的斜率

• 如果切线斜率是negative负的，那么就应该使w变大，即往右踏一步；如果切线斜率是positive正的，那么就应该使w变小，即往左踏一步，每一步的步长step size就是w的改变量

  w的改变量step size的大小取决于两件事

  • 一是现在的微分值$\frac{dL}{dw}$dwdL​有多大，微分值越大代表现在在一个越陡峭的地方，那它要移动的距离就越大，反之就越小；

  • 二是一个常数项$η$η，被称为learning rate，即学习率，它决定了每次踏出的step size不只取决于现在的斜率，还取决于一个事先就定好的数值，如果learning rate比较大，那每踏出一步的时候，参数w更新的幅度就比较大，反之参数更新的幅度就比较小

    如果learning rate设置的大一些，那机器学习的速度就会比较快；但是learning rate如果太大，可能就会跳过最合适的global minima的点

• 因此每次参数更新的大小是 $η \frac{dL}{dw}$ηdwdL​，为了满足斜率为负时w变大，斜率为正时w变小，应当使原来的w减去更新的数值，即
  $w^1=w^0-η \frac{dL}{dw}|_{w=w^0} \\ w^2=w^1-η \frac{dL}{dw}|_{w=w^1} \\ w^3=w^2-η \frac{dL}{dw}|_{w=w^2} \\ ... \\ w^{i+1}=w^i-η \frac{dL}{dw}|_{w=w^i} \\ if\ \ (\frac{dL}{dw}|_{w=w^i}==0) \ \ then \ \ stop;$w1=w0−ηdwdL​∣w=w0​w2=w1−ηdwdL​∣w=w1​w3=w2−ηdwdL​∣w=w2​...wi+1=wi−ηdwdL​∣w=wi​if  (dwdL​∣w=wi​==0)  then  stop;
  此时$w^i$wi对应的斜率为0，我们找到了一个极小值local minima，这就出现了一个问题，当微分为0的时候，参数就会一直卡在这个点上没有办法再更新了，因此通过gradient descent找出来的solution其实并不是最佳解global minima

  但幸运的是，在linear regression上，是没有local minima的，因此可以使用这个方法

  

两个参数的问题

今天要解决的关于宝可梦的问题，是含有two parameters的问题，即$(w^*,b^*)=arg\ \underset{w,b} {min} L(w,b)$(w∗,b∗)=arg w,bmin​L(w,b)

当然，它本质上处理单个参数的问题是一样的

• 首先，也是随机选取两个初始值，$w^0$w0和$b^0$b0

• 然后分别计算$(w^0,b^0)$(w0,b0)这个点上，L对w和b的偏微分，即$\frac{\partial L}{\partial w}|_{w=w^0,b=b^0}$∂w∂L​∣w=w0,b=b0​ 和 $\frac{\partial L}{\partial b}|_{w=w^0,b=b^0}$∂b∂L​∣w=w0,b=b0​

• 更新参数，当迭代跳出时，$(w^i,b^i)$(wi,bi)对应着极小值点
  $w^1=w^0-η\frac{\partial L}{\partial w}|_{w=w^0,b=b^0} \ \ \ \ \ \ \ \ \ b^1=b^0-η\frac{\partial L}{\partial b}|_{w=w^0,b=b^0} \\ w^2=w^1-η\frac{\partial L}{\partial w}|_{w=w^1,b=b^1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ b^2=b^1-η\frac{\partial L}{\partial b}|_{w=w^1,b=b^1} \\ ... \\ w^{i+1}=w^{i}-η\frac{\partial L}{\partial w}|_{w=w^{i},b=b^{i}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ b^{i+1}=b^{i}-η\frac{\partial L}{\partial b}|_{w=w^{i},b=b^{i}} \\ if(\frac{\partial L}{\partial w}==0 \&\& \frac{\partial L}{\partial b}==0) \ \ \ then \ \ stop$w1=w0−η∂w∂L​∣w=w0,b=b0​         b1=b0−η∂b∂L​∣w=w0,b=b0​w2=w1−η∂w∂L​∣w=w1,b=b1​         b2=b1−η∂b∂L​∣w=w1,b=b1​...wi+1=wi−η∂w∂L​∣w=wi,b=bi​         bi+1=bi−η∂b∂L​∣w=wi,b=bi​if(∂w∂L​==0&&∂b∂L​==0)   then  stop

实际上，L 的gradient就是微积分中的那个梯度的概念，即
$\nabla L= \begin{bmatrix} \frac{\partial L}{\partial w} \\ \frac{\partial L}{\partial b} \end{bmatrix}_{gradient}$∇L=[∂w∂L​∂b∂L​​]gradient​
可视化效果如下：(三维坐标显示在二维图像中，loss的值用颜色来表示)

横坐标是b，纵坐标是w，颜色代表loss的值，越偏蓝色表示loss越小，越偏红色表示loss越大

每次计算得到的梯度gradient，即由$\frac{\partial L}{\partial b}和\frac{\partial L}{\partial w}$∂b∂L​和∂w∂L​组成的vector向量，就是该等高线的法线方向(对应图中红色箭头的方向)；而$(-η\frac{\partial L}{\partial b},-η\frac{\partial L}{\partial w})$(−η∂b∂L​,−η∂w∂L​)的作用就是让原先的$(w^i,b^i)$(wi,bi)朝着gradient的方向即等高线法线方向前进，其中η(learning rate)的作用是每次更新的跨度(对应图中红色箭头的长度)；经过多次迭代，最终gradient达到极小值点

注：这里两个方向的η(learning rate)必须保持一致，这样每次更新坐标的step size是等比例缩放的，保证坐标前进的方向始终和梯度下降的方向一致；否则坐标前进的方向将会发生偏移

Gradient Descent的缺点

gradient descent有一个令人担心的地方，也就是我之前一直提到的，它每次迭代完毕，寻找到的梯度为0的点必然是极小值点，local minima；却不一定是最小值点，global minima

这会造成一个问题是说，如果loss function长得比较坑坑洼洼(极小值点比较多)，而每次初始化$w^0$w0的取值又是随机的，这会造成每次gradient descent停下来的位置都可能是不同的极小值点；而且当遇到梯度比较平缓(gradient≈0)的时候，gradient descent也可能会效率低下甚至可能会stuck卡住；也就是说通过这个方法得到的结果，是看人品的(滑稽

但是！在linear regression里，loss function实际上是convex的，是一个凸函数，是没有local optimal局部最优解的，他只有一个global minima，visualize出来的图像就是从里到外一圈一圈包围起来的椭圆形的等高线(就像前面的等高线图)，因此随便选一个起始点，根据gradient descent最终找出来的，都会是同一组参数

回到pokemon的问题上来

偏微分的计算

现在我们来求具体的L对w和b的偏微分
$L(w,b)=\sum\limits_{n=1}^{10}(\widehat{y}^n-(b+w\cdot x_{cp}^n))^2 \\ \frac{\partial L}{\partial w}=\sum\limits_{n=1}^{10}2(\widehat{y}^n-(b+w\cdot x_{cp}^n))(-x_{cp}^n) \\ \frac{\partial L}{\partial b}=\sum\limits_{n=1}^{10}2(\widehat{y}^n-(b+w\cdot x_{cp}^n))(-1)$L(w,b)=n=1∑10​(y​n−(b+w⋅xcpn​))2∂w∂L​=n=1∑10​2(y​n−(b+w⋅xcpn​))(−xcpn​)∂b∂L​=n=1∑10​2(y​n−(b+w⋅xcpn​))(−1)

How’s the results?

根据gradient descent，我们得到的$y=b+w\cdot x_{cp}$y=b+w⋅xcp​中最好的参数是b=-188.4, w=2.7

我们需要有一套评估系统来评价我们得到的最后这个function和实际值的误差error的大小；这里我们将training data里每一只宝可梦 $i$i 进化后的实际cp值与预测值之差的绝对值叫做$e^i$ei，而这些误差之和Average Error on Training Data为$\sum\limits_{i=1}^{10}e^i=31.9$i=1∑10​ei=31.9

What we really care about is the error on new data (testing data)

当然我们真正关心的是generalization的case，也就是用这个model去估测新抓到的pokemon，误差会有多少，这也就是所谓的testing data的误差；于是又抓了10只新的pokemon，算出来的Average Error on Testing Data为$\sum\limits_{i=1}^{10}e^i=35.0$i=1∑10​ei=35.0；可见training data里得到的误差一般是要比testing data要小，这也符合常识

How can we do better?

我们有没有办法做得更好呢？这时就需要我们重新去设计model；如果仔细观察一下上图的data，就会发现在原先的cp值比较大和比较小的地方，预测值是相当不准的

实际上，从结果来看，最终的function可能不是一条直线，可能是稍微更复杂一点的曲线

考虑$(x_{cp})^2$(xcp​)2的model

考虑$(x_{cp})^3$(xcp​)3的model

考虑$(x_{cp})^4$(xcp​)4的model

考虑$(x_{cp})^5$(xcp​)5的model

5个model的对比

这5个model的training data的表现：随着$(x_{cp})^i$(xcp​)i的高次项的增加，对应的average error会不断地减小；实际上这件事情非常容易解释，实际上低次的式子是高次的式子的特殊情况(令高次项$(X_{cp})^i$(Xcp​)i对应的$w_i$wi​为0，高次式就转化成低次式)

也就是说，在gradient descent可以找到best function的前提下(多次式为Non-linear model，存在local optimal局部最优解，gradient descent不一定能找到global minima)，function所包含的项的次数越高，越复杂，error在training data上的表现就会越来越小；但是，我们关心的不是model在training data上的error表现，而是model在testing data上的error表现

在training data上，model越复杂，error就会越低；但是在testing data上，model复杂到一定程度之后，error非但不会减小，反而会暴增，在该例中，从含有$(X_{cp})^4$(Xcp​)4项的model开始往后的model，testing data上的error出现了大幅增长的现象，通常被称为overfitting过拟合

因此model不是越复杂越好，而是选择一个最适合的model，在本例中，包含$(X_{cp})^3$(Xcp​)3的式子是最适合的model

进一步讨论其他参数

物种$x_s$xs​的影响

之前我们的model只考虑了宝可梦进化前的cp值，这显然是不对的，除了cp值外，还受到物种$x_s$xs​的影响

因此我们重新设计model：
$if \ \ x_s=Pidgey: \ \ \ \ \ \ \ y=b_1+w_1\cdot x_{cp} \\ if \ \ x_s=Weedle: \ \ \ \ \ \ y=b_2+w_2\cdot x_{cp} \\ if \ \ x_s=Caterpie: \ \ \ \ y=b_3+w_3\cdot x_{cp} \\ if \ \ x_s=Eevee: \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=b_4+w_4\cdot x_{cp}$if  xs​=Pidgey:       y=b1​+w1​⋅xcp​if  xs​=Weedle:      y=b2​+w2​⋅xcp​if  xs​=Caterpie:    y=b3​+w3​⋅xcp​if  xs​=Eevee:         y=b4​+w4​⋅xcp​
也就是根据不同的物种，设计不同的linear model(这里$x_s=species \ of \ x$xs​=species of x)，那如何将上面的四个if语句合并成一个linear model呢？

这里引入$δ(条件表达式)$δ(条件表达式)的概念，当条件表达式为true，则δ为1；当条件表达式为false，则δ为0，因此可以通过下图的方式，将4个if语句转化成同一个linear model

有了上面这个model以后，我们分别得到了在training data和testing data上测试的结果：

Hp值$x_{hp}$xhp​、height值$x_h$xh​、weight值$x_w$xw​的影响

考虑所有可能有影响的参数，设计出这个最复杂的model：
$if \ \ x_s=Pidgey: \ \ \ \ y'=b_1+w_1\cdot x_{cp}+w_5\cdot(x_{cp})^2 \\ if \ \ x_s=Weedle: \ \ \ y'=b_2+w_2\cdot x_{cp}+w_6\cdot(x_{cp})^2 \\ if \ \ x_s=Pidgey: \ \ \ y'=b_3+w_3\cdot x_{cp}+w_7\cdot(x_{cp})^2 \\ if \ \ x_s=Eevee: \ \ \ \ y'=b_4+w_4\cdot x_{cp}+w_8\cdot(x_{cp})^2 \\ y=y'+w_9\cdot x_{hp}+w_{10}\cdot(x_{hp})^2+w_{11}\cdot x_h+w_{12}\cdot (x_h)^2+w_{13}\cdot x_w+w_{14}\cdot (x_w)^2$if  xs​=Pidgey:    y′=b1​+w1​⋅xcp​+w5​⋅(xcp​)2if  xs​=Weedle:   y′=b2​+w2​⋅xcp​+w6​⋅(xcp​)2if  xs​=Pidgey:   y′=b3​+w3​⋅xcp​+w7​⋅(xcp​)2if  xs​=Eevee:    y′=b4​+w4​⋅xcp​+w8​⋅(xcp​)2y=y′+w9​⋅xhp​+w10​⋅(xhp​)2+w11​⋅xh​+w12​⋅(xh​)2+w13​⋅xw​+w14​⋅(xw​)2
算出的training error=1.9，但是，testing error=102.3！这么复杂的model很大概率会发生overfitting(按照我的理解，overfitting实际上是我们多使用了一些input的变量或是变量的高次项使曲线跟training data拟合的更好，但不幸的是这些项并不是实际情况下被使用的，于是这个model在testing data上会表现得很糟糕)，overfitting就相当于是那个范围更大的韦恩图，它包含了更多的函数更大的范围，代价就是在准确度上表现得更糟糕

regularization解决overfitting(L2正则化解决过拟合问题)

regularization可以使曲线变得更加smooth，training data上的error变大，但是 testing data上的error变小。有关regularization的具体原理说明详见下一部分

原来的loss function只考虑了prediction的error，即$\sum\limits_i^n(\widehat{y}^i-(b+\sum\limits_{j}w_jx_j))^2$i∑n​(y​i−(b+j∑​wj​xj​))2；而regularization则是在原来的loss function的基础上加上了一项$\lambda\sum(w_i)^2$λ∑(wi​)2，就是把这个model里面所有的$w_i$wi​的平方和用λ加权(其中i代表遍历n个training data，j代表遍历model的每一项)

也就是说，我们期待参数$w_i$wi​越小甚至接近于0的function，为什么呢？

因为参数值接近0的function，是比较平滑的；所谓的平滑的意思是，当今天的输入有变化的时候，output对输入的变化是比较不敏感的

举例来说，对$y=b+\sum w_ix_i$y=b+∑wi​xi​这个model，当input变化$\Delta x_i$Δxi​，output的变化就是$w_i\Delta x_i$wi​Δxi​，也就是说，如果$w_i$wi​越小越接近0的话，输出对输入就越不sensitive敏感，我们的function就是一个越平滑的function；说到这里你会发现，我们之前没有把bias——b这个参数考虑进去的原因是bias的大小跟function的平滑程度是没有关系的，bias值的大小只是把function上下移动而已

那为什么我们喜欢比较平滑的function呢？

如果我们有一个比较平滑的function，由于输出对输入是不敏感的，测试的时候，一些noises噪声对这个平滑的function的影响就会比较小，而给我们一个比较好的结果

注：这里的λ需要我们手动去调整以取得最好的值

λ值越大代表考虑smooth的那个regularization那一项的影响力越大，我们找到的function就越平滑

观察下图可知，当我们的λ越大的时候，在training data上得到的error其实是越大的，但是这件事情是非常合理的，因为当λ越大的时候，我们就越倾向于考虑w的值而越少考虑error的大小；但是有趣的是，虽然在training data上得到的error越大，但是在testing data上得到的error可能会是比较小的

下图中，当λ从0到100变大的时候，training error不断变大，testing error反而不断变小；但是当λ太大的时候(>100)，在testing data上的error就会越来越大

我们喜欢比较平滑的function，因为它对noise不那么sensitive；但是我们又不喜欢太平滑的function，因为它就失去了对data拟合的能力；而function的平滑程度，就需要通过调整λ来决定，就像下图中，当λ=100时，在testing data上的error最小，因此我们选择λ=100

注：这里的error指的是$\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n|\widehat{y}^i-y^i|$n1​i=1∑n​∣y​i−yi∣

conclusion总结

关于pokemon的cp值预测的流程总结：

• 根据已有的data特点(labeled data，包含宝可梦及进化后的cp值)，确定使用supervised learning监督学习

• 根据output的特点(输出的是scalar数值)，确定使用regression回归(linear or non-linear)

• 考虑包括进化前cp值、species、hp等各方面变量属性以及高次项的影响，我们的model可以采用这些input的一次项和二次型之和的形式，如：
  $if \ \ x_s=Pidgey: \ \ \ \ y'=b_1+w_1\cdot x_{cp}+w_5\cdot(x_{cp})^2 \\ if \ \ x_s=Weedle: \ \ \ y'=b_2+w_2\cdot x_{cp}+w_6\cdot(x_{cp})^2 \\ if \ \ x_s=Pidgey: \ \ \ y'=b_3+w_3\cdot x_{cp}+w_7\cdot(x_{cp})^2 \\ if \ \ x_s=Eevee: \ \ \ \ y'=b_4+w_4\cdot x_{cp}+w_8\cdot(x_{cp})^2 \\ y=y'+w_9\cdot x_{hp}+w_{10}\cdot(x_{hp})^2+w_{11}\cdot x_h+w_{12}\cdot (x_h)^2+w_{13}\cdot x_w+w_{14}\cdot (x_w)^2$if  xs​=Pidgey:    y′=b1​+w1​⋅xcp​+w5​⋅(xcp​)2if  xs​=Weedle:   y′=b2​+w2​⋅xcp​+w6​⋅(xcp​)2if  xs​=Pidgey:   y′=b3​+w3​⋅xcp​+w7​⋅(xcp​)2if  xs​=Eevee:    y′=b4​+w4​⋅xcp​+w8​⋅(xcp​)2y=y′+w9​⋅xhp​+w10​⋅(xhp​)2+w11​⋅xh​+w12​⋅(xh​)2+w13​⋅xw​+w14​⋅(xw​)2
  而为了保证function的平滑性，loss function应使用regularization，即$L=\sum\limits_{i=1}^n(\widehat{y}^i-y^i)^2+\lambda\sum\limits_{j}(w_j)^2$L=i=1∑n​(y​i−yi)2+λj∑​(wj​)2，注意bias——参数b对function平滑性无影响，因此不额外再次计入loss function(y的表达式里已包含w、b)

• 利用gradient descent对regularization版本的loss function进行梯度下降迭代处理，每次迭代都减去L对该参数的微分与learning rate之积，假设所有参数合成一个vector：$[w_0,w_1,w_2,...,w_j,...,b]^T$[w0​,w1​,w2​,...,wj​,...,b]T，那么每次梯度下降的表达式如下：
  $梯度: \nabla L= \begin{bmatrix} \frac{\partial L}{\partial w_0} \\ \frac{\partial L}{\partial w_1} \\ \frac{\partial L}{\partial w_2} \\ ... \\ \frac{\partial L}{\partial w_j} \\ ... \\ \frac{\partial L}{\partial b} \end{bmatrix}_{gradient} \ \ \ gradient \ descent: \begin{bmatrix} w'_0\\ w'_1\\ w'_2\\ ...\\ w'_j\\ ...\\ b' \end{bmatrix}_{L=L'} = \ \ \ \ \ \ \begin{bmatrix} w_0\\ w_1\\ w_2\\ ...\\ w_j\\ ...\\ b \end{bmatrix}_{L=L_0} -\ \ \ \ \eta \begin{bmatrix} \frac{\partial L}{\partial w_0} \\ \frac{\partial L}{\partial w_1} \\ \frac{\partial L}{\partial w_2} \\ ... \\ \frac{\partial L}{\partial w_j} \\ ... \\ \frac{\partial L}{\partial b} \end{bmatrix}_{L=L_0}$梯度:∇L=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​∂w0​∂L​∂w1​∂L​∂w2​∂L​...∂wj​∂L​...∂b∂L​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​gradient​   gradient descent:⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​w0′​w1′​w2′​...wj′​...b′​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​L=L′​=      ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​w0​w1​w2​...wj​...b​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​L=L0​​−    η⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​∂w0​∂L​∂w1​∂L​∂w2​∂L​...∂wj​∂L​...∂b∂L​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​L=L0​​
  当梯度稳定不变时，即$\nabla L$∇L为0时，gradient descent便停止，此时如果采用的model是linear的，那么vector必然落于global minima处(凸函数)；如果采用的model是Non-linear的，vector可能会落于local minima处(此时需要采取其他办法获取最佳的function)

  假定我们已经通过各种方法到达了global minima的地方，此时的vector：$[w_0,w_1,w_2,...,w_j,...,b]^T$[w0​,w1​,w2​,...,wj​,...,b]T所确定的那个唯一的function就是在该λ下的最佳$f^*$f∗，即loss最小

• 这里λ的最佳数值是需要通过我们不断调整来获取的，因此令λ等于0，10，100，1000，…不断使用gradient descent或其他算法得到最佳的parameters：$[w_0,w_1,w_2,...,w_j,...,b]^T$[w0​,w1​,w2​,...,wj​,...,b]T，并计算出这组参数确定的function——$f^*$f∗对training data和testing data上的error值，直到找到那个使testing data的error最小的λ，(这里一开始λ=0，就是没有使用regularization时的loss function)

  注：引入评价$f^*$f∗的error机制，令error=$\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n|\widehat{y}^i-y^i|$n1​i=1∑n​∣y​i−yi∣，分别计算该$f^*$f∗对training data和testing data(more important)的$error(f^*)$error(f∗)大小

  先设定λ->确定loss function->找到使loss最小的$[w_0,w_1,w_2,...,w_j,...,b]^T$[w0​,w1​,w2​,...,wj​,...,b]T->确定function->计算error->重新设定新的λ重复上述步骤->使testing data上的error最小的λ所对应的$[w_0,w_1,w_2,...,w_j,...,b]^T$[w0​,w1​,w2​,...,wj​,...,b]T所对应的function就是我们能够找到的最佳的function

本章节总结：

• Pokémon: Original CP and species almost decide the CP after evolution

• There are probably other hidden factors

• Gradient descent

  • More theory and tips in the following lectures

• Overfitting and Regularization

• We finally get average error = 11.1 on the testing data

• How about new data? Larger error? Lower error?(larger->need validation)

• Next lecture: Where does the error come from?

  • More theory about overfitting and regularization
  • The concept of validation(用来解决new data的error高于11.1的问题)

附：Regularization(L1 L2 正则化解决overfitting)

Regularization -> redefine the loss function

关于overfitting的问题，很大程度上是由于曲线为了更好地拟合training data的数据，而引入了更多的高次项，使得曲线更加“蜿蜒曲折”，反而导致了对testing data的误差更大

回过头来思考，我们之前衡量model中某个function的好坏所使用的loss function，仅引入了真实值和预测值差值的平方和这一个衡量标准；我们想要避免overfitting过拟合的问题，就要使得高次项对曲线形状的影响尽可能小，因此我们要在loss function里引入高次项(非线性部分)的衡量标准，也就是将高次项的系数也加权放进loss function中，这样可以使得训练出来的model既满足预测值和真实值的误差小，又满足高次项的系数尽可能小而使曲线的形状比较稳定集中

以下图为例，如果loss function仅考虑了$(\widehat{y}-y)^2$(y​−y)2这一误差衡量标准，那么拟合出来的曲线就是红色虚线部分(过拟合)，而过拟合就是所谓的model对training data过度自信, 非常完美的拟合上了这些数据, 如果具备过拟合的能力, 那么这个方程就可能是一个比较复杂的非线性方程 , 正是因为这里的$x^3$x3和$x^2$x2使得这条虚线能够被弯来弯去, 所以整个模型就会特别努力地去学习作用在$x^3$x3和$x^2$x2上的c、d参数. 但是在这个例子里，我们期望模型要学到的却是这条蓝色的曲线. 因为它能更有效地概括数据.而且只需要一个$y=a+bx$y=a+bx就能表达出数据的规律.

或者是说, 蓝色的线最开始时, 和红色线同样也有c、d两个参数, 可是最终学出来时, c 和 d 都学成了0, 虽然蓝色方程的误差要比红色大, 但是概括起数据来还是蓝色好

这也是我们通常采用的方法，我们不可能一开始就否定高次项而直接只采用低次线性表达式的model，因为有时候真实数据的确是符合高次项非线性曲线的分布的；而如果一开始直接采用高次非线性表达式的model，就很有可能造成overfitting，在曲线偏折的地方与真实数据的误差非常大。我们的目标应该是这样的：

在无法确定真实数据分布的情况下，我们尽可能去改变loss function的评价标准

• 我们的model的表达式要尽可能的复杂，包含尽可能多的参数和尽可能多的高次非线性项；
• 但是我们的loss function又有能力去控制这条曲线的参数和形状，使之不会出现overfitting过拟合的现象；
• 在真实数据满足高次非线性曲线分布的时候，loss function控制训练出来的高次项的系数比较大，使得到的曲线比较弯折起伏；
• 在真实数据满足低次线性分布的时候，loss function控制训练出来的高次项的系数比较小甚至等于0，使得到的曲线接近linear分布

那我们如何保证能学出来这样的参数呢? 这就是 L1 L2 正规化出现的原因.

之前的loss function仅考虑了$(\widehat{y}-y)^2$(y​−y)2这一误差衡量标准，而L1 L2正规化就是在这个loss function的后面多加了一个东西，即model中跟高次项系数有关的表达式；

• L1正规化即加上$λ\sum |w_j|$λ∑∣wj​∣这一项，loss function变成$L=\sum\limits_{i=1}^n(\widehat{y}^i-y^i)^2+\lambda\sum\limits_{j}|w_j|$L=i=1∑n​(y​i−yi)2+λj∑​∣wj​∣，即n个training data里的数据的真实值与预测值差值的平方和加上λ权重下的model表达式中所有项系数的绝对值之和

• L2正规化即加上$\lambda\sum(w_j)^2$λ∑(wj​)2这一项，loss function变成$L=\sum\limits_{i=1}^n(\widehat{y}^i-y^i)^2+\lambda\sum\limits_{j}(w_j)^2$L=i=1∑n​(y​i−yi)2+λj∑​(wj​)2，即n个training data里的数据的真实值与预测值差值的平方和加上λ权重下的model表达式中所有项系数的平方和

相对来说，L2要更稳定一些，L1的结果则不那么稳定，如果用p表示正规化程度，上面两式可总结如下：$L=\sum\limits_{i=1}^n(\widehat{y}^i-y^i)^2+\lambda\sum\limits_{j}(w_j)^p$L=i=1∑n​(y​i−yi)2+λj∑​(wj​)p