海伦公式的证明

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海伦公式

一个边长为 $a,b,c$a,b,c 的三角形，其面积为：

$\sqrt{p (p-a) (p-b) (p-c)}$p(p−a)(p−b)(p−c)​

其中 $p=\frac{a+b+c}{2}$p=2a+b+c​.

高

求面积当然要从高入手，如图：

其中 $D$D 为垂足，$h$h 为高。设 $BD = x$BD=x，则 $DC = a - x$DC=a−x.

可以得到：

$\begin{cases} c^2 = x^2 + h^2 \\ b^2 = (a-x)^2 + h^2 \end{cases}${c2=x2+h2b2=(a−x)2+h2​

勾股定理的应用

可得

$c^2 - x^2 = b^2 - (a-x)^2$c2−x2=b2−(a−x)2

$c^2 - x^2 = b^2 - a^2 + 2ax - x^2$c2−x2=b2−a2+2ax−x2

$2ax = c^2 - b^2 + a^2$2ax=c2−b2+a2

$x=\frac{c^2 - b^2 + a^2}{2a}$x=2ac2−b2+a2​

那么：

$h^2 = c^2 - x^2$h2=c2−x2

$= (c - \frac{c^2 - b^2 + a^2}{2a})(c + \frac{c^2 - b^2 + a^2}{2a})$=(c−2ac2−b2+a2​)(c+2ac2−b2+a2​)

$= \frac{2ac-c^2+b^2-a^2}{2a} \cdot \frac{2ac+c^2-b^2+a^2}{2a}$=2a2ac−c2+b2−a2​⋅2a2ac+c2−b2+a2​

$= \frac{-[(a-c)^2 - b^2]}{2a} \cdot \frac{(a+c)^2-b^2}{2a}$=2a−[(a−c)2−b2]​⋅2a(a+c)2−b2​

$= -\frac{(a-b-c)(a+b-c)(a+c-b)(a+b+c)}{4a^2}$=−4a2(a−b−c)(a+b−c)(a+c−b)(a+b+c)​

$= \frac{(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)}{4a^2}$=4a2(a+b−c)(a+c−b)(b+c−a)(a+b+c)​

则：

$h = \sqrt{\frac{(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)}{4a^2}}$h=4a2(a+b−c)(a+c−b)(b+c−a)(a+b+c)​​

$= \frac{1}{2a} \sqrt{(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)}$=2a1​(a+b−c)(a+c−b)(b+c−a)(a+b+c)​

面积

$\therefore$∴

$S= \frac{ah}{2}$S=2ah​

$= \frac{1}{4} \sqrt{(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)}$=41​(a+b−c)(a+c−b)(b+c−a)(a+b+c)​

$= \sqrt{\frac{1}{16}(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)}$=161​(a+b−c)(a+c−b)(b+c−a)(a+b+c)​

令 $p=\frac{a+b+c}{2}$p=2a+b+c​，则：

$\begin{cases} a+b-c = (a+b+c)-2c = 2p-2c = 2(p-c) \\ a+c-b = (a+b+c)-2b = 2p-2b = 2(p-b) \\ b+c-a = (a+b+c)-2a = 2p-2a = 2(p-a) \\ a+b+c = 2p \end{cases}$⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​a+b−c=(a+b+c)−2c=2p−2c=2(p−c)a+c−b=(a+b+c)−2b=2p−2b=2(p−b)b+c−a=(a+b+c)−2a=2p−2a=2(p−a)a+b+c=2p​

$\therefore$∴

$S = \sqrt{\frac{1}{16}(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)}$S=161​(a+b−c)(a+c−b)(b+c−a)(a+b+c)​

$= \sqrt{\frac{1}{16} \cdot 2 (p-c) \cdot 2 (p-b) \cdot 2 (p-a) \cdot 2p}$=161​⋅2(p−c)⋅2(p−b)⋅2(p−a)⋅2p​

$= \sqrt{p (p-a) (p-b) (p-c)}$=p(p−a)(p−b)(p−c)​

得证。