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匹配滤波器

本章研究目的：在高斯白噪声干扰下，如何检测信号，使接收性能最佳。这里的最佳指的是在某种准则下的最佳。
内容主线

主题	内容
最佳接收准则	似然准则
最佳接收器件	相关器，匹配滤波器
确知信号最佳接收	结构，误码性能
随相信号最佳接收	结构，误码性能

匹配滤波器：在最大化信号的同时，尽量减小噪声影响的线性滤波器设计方案。
设计准则：设计匹配滤波器的传输函数$H(f)或者h(t)$H(f)或者h(t),使得输出信噪比在抽样时刻$T_0$T0​有最大值。
输出信噪比ro定义为输出信号瞬时功率和输出噪声平均功率之比。

传输函数

下面对传输函数进行物理解释

下面从时域角度看匹配滤波器

含义是：h(t)是输入信号s(t)的镜像s(-t)及右移$t_0$t0​

接下来的问题是：时延$t_0$t0​如何确定?
对于物理可实现的匹配滤波器，也就是因果系统

这表示s(t）必须在t0之前结束，换言之，t0需要大于等于s(t)的持续时间TB，一般取$t_0=T_B$t0​=TB​,这意味着每个码元的终止时刻即为最佳抽样时刻t0。

下面看输出信号$S_o(t)$So​(t)
输出信号等于输入信号和匹配滤波器冲激函数的卷积，我们发现输出信号等于输入信号s(t)的自相关函数，换言之，匹配滤波器相当于相关器。

在$t=t_0$t=t0​时，输出信号有最大值，即输入信号码元的能量

下面看一道例题

解答：我们已经知道t0取输入码元的终止时刻，是上图中的T，而不是T/2.根据$h(t)=s(t_0-t)$h(t)=s(t0​−t)
这是说对原信号s(t)反转，并延时（右移）t0【补充：这里是左移还是右移，需要对时域信号反转，平移性质有较好的理解：s(t)反转之后变成s(-t),然后朝哪边移动，是对t而言，s(-(t-t0))=s(t0-t)，按照左加右减，这是右移，即延时】
可以得到h1(t)和h2(t)，

可以求得输出信号：两个等宽方波信号卷积得到三角波信号

在T时刻可以求得最大输出信噪比
根据公式$r_o max=\frac{2E}{n_0}$ro​max=n0​2E​

最大输入信噪比与输入信号有效作用时间和输入信号的幅值有关，有效作用时间越长，效果越好，而和输入信号的波形无关。

下面看例题2

解题技巧：两个矩形波包络的卷积，其输出信号的包络是三角波，所以可以看到输出信号的波形如下图所示。

匹配滤波器小结
匹配滤波器是一种在抽样时刻t0获得最大输出信噪比的最佳线性滤波器。

匹配滤波器的应用
适用于任何一种数字信号波形的接收

思考题：匹配滤波器是否能够用于模拟信号的接收？