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数据结构：单源最短路径--Dijkstra算法

分类: 文章 • 2025-01-18 08:20:47

   Dijkstra算法

单源最短路径

    给定一带权图，图中每条边的权值是非负的，代表着两顶点之间的距离。指定图中的一顶点为源点，找出源点到其它顶点的最短路径和其长度的问题，即是单源最短路径问题。

Dijkstra算法

    求解单源最短路径问题的常用方法是Dijkstra(迪杰斯特拉)算法。该算法使用的是贪心策略：每次都找出剩余顶点中与源点距离最近的一个顶点。

算法思想

    带权图G=<V,E>，令S为已确定了最短路径顶点的集合，则可用V-S表示剩余未确定最短路径顶点的集合。假设V0是源点，则初始 S={V0}。用数组Distance表示源点V0到其余顶点的路径长度，用数组pre[i]表示最短路径序列上顶点i的前一个顶点。初始时，pre[i]都是源点的下标。接下来需重复两个步骤：

  1. 从当前Distance[i]找出最小的一个，记录其下标v=i，源点V0到顶点Vv的最短路径即已确定，把Vv加入S。
  2. 更新源点到剩余顶点的最短路径长度。更新方法是：以上一步的顶点Vv为中间点，若Distance[v]+weight(v,i)<Distance[i]，则修改值：pre[i]=v;Distance[i]=Distance[v]+weight(v,i);
重复以上两个步骤，直至所有顶点的最短路径都已找到。
需要指出，Dijkstra算法求解的不仅是有向图，无向图也是可以的。下面给出一个完整的有向带权图的实例：

实例

有向带权图

                       数据结构：单源最短路径--Dijkstra算法

Dijkstra算法的求解过程

数据结构：单源最短路径--Dijkstra算法

其中，INF是infinity无穷大的意思。

代码

类定义

[cpp] view plain copy
  1. #include<iostream>    
  2. #include<iomanip>  
  3. #include<stack>  
  4. using namespace std;  
  5. #define MAXWEIGHT 100  
  6. #ifdef INFINITY  
  7. #undef INFINITY  
  8. #endif  
  9. #define INFINITY 1000  
  10. class Graph  
  11. {  
  12. private:  
  13.     //顶点数    
  14.     int numV;  
  15.     //边数    
  16.     int numE;  
  17.     //邻接矩阵    
  18.     int **matrix;  
  19. public:  
  20.     Graph(int numV);  
  21.     //建图    
  22.     void createGraph(int numE);  
  23.     //析构方法    
  24.     ~Graph();  
  25.     //迪杰斯特拉算法  
  26.     void Dijkstra(int);  
  27.     //打印邻接矩阵    
  28.     void printAdjacentMatrix();  
  29.     //检查输入    
  30.     bool check(int, int, int);  
  31. };  
类实现

[cpp] view plain copy
  1. //构造函数，指定顶点数目  
  2. Graph::Graph(int numV)  
  3. {  
  4.     //对输入的顶点数进行检测  
  5.     while (numV <= 0)  
  6.     {  
  7.         cout << "顶点数有误！重新输入 ";  
  8.         cin >> numV;  
  9.     }  
  10.     this->numV = numV;  
  11.     //构建邻接矩阵，并初始化  
  12.     matrix = new int*[numV];  
  13.     int i, j;  
  14.     for (i = 0; i < numV; i++)  
  15.         matrix[i] = new int[numV];  
  16.     for (i = 0; i < numV; i++)  
  17.     for (j = 0; j < numV; j++)  
  18.     {  
  19.         if (i == j)  
  20.             matrix[i][i] = 0;  
  21.         else  
  22.             matrix[i][j] = INFINITY;  
  23.     }  
  24. }  
  25. void Graph::createGraph(int numE)  
  26. {  
  27.     /* 
  28.     对输入的边数做检测 
  29.     一个numV个顶点的有向图，最多有numV*(numV - 1)条边 
  30.     */  
  31.     while (numE < 0 || numE > numV*(numV - 1))  
  32.     {  
  33.         cout << "边数有问题！重新输入 ";  
  34.         cin >> numE;  
  35.     }  
  36.     this->numE = numE;  
  37.     int tail, head, weight, i;  
  38.     i = 0;  
  39.     cout << "输入每条边的起点(弧尾)、终点(弧头)和权值" << endl;  
  40.     while (i < numE)  
  41.     {  
  42.         cin >> tail >> head >> weight;  
  43.         while (!check(tail, head, weight))  
  44.         {  
  45.             cout << "输入的边不正确！请重新输入 " << endl;  
  46.             cin >> tail >> head >> weight;  
  47.         }  
  48.         matrix[tail][head] = weight;  
  49.         i++;  
  50.     }  
  51. }  
  52. Graph::~Graph()  
  53. {  
  54.     int i;  
  55.     for (i = 0; i < numV; i++)  
  56.         delete[] matrix[i];  
  57.     delete[]matrix;  
  58. }  
  59. /* 
  60. 迪杰斯特拉算法 
  61. 求指定顶点vertex到其它顶点的最短路径 
  62. 不仅要得出最短路径长度，也要得到其序列 
  63. */  
  64. void Graph::Dijkstra(int vertex)  
  65. {  
  66.     int i;  
  67.     //最短路径序列中每个顶点的直接前驱  
  68.     int *pre = new int[numV];  
  69.     for (i = 0; i < numV; i++)  
  70.         pre[i] = vertex;  
  71.     //顶点vertex到各个顶点的路径长度  
  72.     int *Distance = new int[numV];  
  73.     //初始化路径长度  
  74.     for (i = 0; i < numV; i++)  
  75.         Distance[i] = matrix[vertex][i];  
  76.     //标记各个顶点最短路径找到与否  
  77.     bool *find = new bool[numV];  
  78.     memset(find, 0, numV);  
  79.     find[vertex] = true;  
  80.     int d, v, count;  
  81.     count = 1, v = vertex;  
  82.     while (count < numV)  
  83.     {  
  84.         d = INFINITY;  
  85.         //确定一个最短距离  
  86.         for (i = 0; i < numV; i++)  
  87.         {  
  88.             if (!find[i] && Distance[i] < d)  
  89.             {  
  90.                 d = Distance[i];  
  91.                 v = i;  
  92.             }  
  93.         }  
  94.         find[v] = true;  
  95.         //更新剩余顶点的前驱和最短距离  
  96.         for (i = 0; i < numV; i++)  
  97.         {  
  98.             if (!find[i])  
  99.             {  
  100.                 d = Distance[v] + matrix[v][i];  
  101.                 if (d < Distance[i])  
  102.                 {  
  103.                     pre[i] = v;  
  104.                     Distance[i] = d;  
  105.                 }  
  106.             }  
  107.         }  
  108.         count++;  
  109.     }  
  110.     //打印最短路径序列和其长度  
  111.     stack<int> s;  
  112.     for (i = 0; i < numV; i++)  
  113.     {  
  114.         if (Distance[i] == 0);  
  115.         else if (Distance[i] == INFINITY)  
  116.             cout << "顶点 " << vertex <<" 到顶点 " << i <<" 无路径！" << endl;  
  117.         else  
  118.         {  
  119.             cout << "顶点 " << vertex << " 到顶点 " << i   
  120.                  << " 最短路径长度是 " << Distance[i]   
  121.                  << " ，其序列是...";  
  122.             v = i;  
  123.             s.push(v);  
  124.             do  
  125.             {  
  126.                 v = pre[v];  
  127.                 s.push(v);  
  128.             } while (v!=vertex);  
  129.             //打印最短路径序列  
  130.             while (!s.empty())  
  131.             {  
  132.                 cout << setw(3) << s.top();  
  133.                 s.pop();  
  134.             }  
  135.             cout << endl;  
  136.         }  
  137.     }  
  138.     cout << endl;  
  139.     delete[]find;  
  140.     delete[]pre;  
  141.     delete[]Distance;  
  142. }  
  143. //打印邻接矩阵    
  144. void Graph::printAdjacentMatrix()  
  145. {  
  146.     int i, j;  
  147.     cout.setf(ios::left);  
  148.     cout << setw(7) << " ";  
  149.     for (i = 0; i < numV; i++)  
  150.         cout << setw(7) << i;  
  151.     cout << endl;  
  152.     for (i = 0; i < numV; i++)  
  153.     {  
  154.         cout << setw(7) << i;  
  155.         for (j = 0; j < numV; j++)  
  156.             cout << setw(7) << matrix[i][j];  
  157.         cout << endl;  
  158.     }  
  159. }  
  160. bool Graph::check(int tail, int head, int weight)  
  161. {  
  162.     if (tail < 0 || tail >= numV || head < 0 || head >= numV  
  163.         || weight <= 0 || weight >= MAXWEIGHT)  
  164.         return false;  
  165.     return true;  
  166. }  
主函数

[cpp] view plain copy
  1. int main()  
  2. {  
  3.     cout << "******Dijkstra***by David***" << endl;  
  4.     int numV, numE;  
  5.     cout << "建图..." << endl;  
  6.     cout << "输入顶点数 ";  
  7.     cin >> numV;  
  8.     Graph graph(numV);  
  9.     cout << "输入边数 ";  
  10.     cin >> numE;  
  11.     graph.createGraph(numE);  
  12.     cout << endl << "Dijkstra..." << endl;  
  13.     for (int i = 0; i < numV; i++)  
  14.     graph.Dijkstra(i);  
  15.     system("pause");  
  16.     return 0;  
  17. }  
运行

数据结构：单源最短路径--Dijkstra算法数据结构：单源最短路径--Dijkstra算法



完整代码下载：Dijkstra算法


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