二项式定理

2.1什么是二项式定理

2.1.1 研究历史
2.1.2 二项式定理
2.1.2定理描述及证明方法

3 应用若干

2.1什么是二项式定理

2.1.1 研究历史

二项式系数的三角形排列通常被认为是法国数学家布莱兹·帕斯卡的贡献，他在17世纪描述了这一现象。但早在他之前，就曾有数学家进行类似的研究。例如，古希腊数学家欧几里得于公元前4世纪提到了指数为2的情况。公元前三世纪，印度数学家青目探讨了更高阶的情况。帕斯卡三角形的雏形于10世纪由印度数学家大力罗摩发现。在同一时期，波斯数学家卡拉吉和数学家兼诗人欧玛尔·海亚姆得到了更为普遍的二项式定理的形式。13世纪，中国数学家杨辉也得到了类似的结果。卡拉吉用数学归纳法的原始形式给出了二项式定理和帕斯卡三角形(巴斯卡三角形)的有关证明。艾萨克·牛顿勋爵将二项式定理的系数推广到有理数。

2.1.2 二项式定理

二项式定理（英语：Binomial theorem）描述了二项式的幂的代数展开。根据该定理，可以将两个数之和的整数次幂诸如 $(x+y)^{n}$ 展开为类似 $ax^{b}y^{c}$ 项之和的恒等式，其中 $b}、{\displaystyle c$ 均为非负整数且 $b+c=n$ 。系数 $a$ 是依赖于 $n$ 和 $b$ 的正整数。当某项的指数为1时，通常略去不写。例如：

$(x+y)^{4}\;=\;x^{4}\,+\,4x^{3}y\,+\,6x^{2}y^{2}\,+\,4xy^{3}\,+\,y^{4}.$
$ax^{b}y^{c}$ 中的系数 $a$ 被称为二项式系数，记作 ${\tbinom {n}{b}}$ 或 ${\tbinom {n}{c}}$ （二者值相等。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。

二项式定理

对直到四次幂的二项式的可视化

2.1.2定理描述及证明方法

定理描述
证明方法

数学归纳法

2 组合方法

3 一般形式的证明

续

3 应用若干

牛顿以二项式定理作为基石发明出了微积分。其在初等数学中应用主要在于一些粗略的分析和估计以及证明恒等式等。

证明组合恒等式
二项式定理给出的系数可以视为组合数 ${n \choose k}$ 的另一种定义。因此二项式展开与组合数的关系十分密切。它常常用来证明一些组合恒等式。

证明 ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}={2n \choose n}}$
可以考虑恒等式 $(1+x)^{n}(1+x)^{n}=(1+x)^{2n}$ 。展开等式左边得到： $\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{n}{n \choose i}{n \choose j}x^{i}x^{j}$ 。注意这一步使用了有限求和与乘积可以交换的性质。同时如果展开等式右边可以得到 $\sum _{k=0}^{2n}{2n \choose k}x^{k}$ 。比较两边幂次为 $k$ 的项的系数可以得到: $\sum _{i=0}^{k}{n \choose i}{n \choose k-i}={2n \choose k}$ 。令 $k=n$ ，并注意到 ${n \choose i}={n \choose n-i}$ 即可得到所要证明的结论。
证明 $\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}$
因为 ${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}}$

令 $x=y=1$ ，代入上式，得

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+1)^{n}&=2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot 1^{n-k}\cdot 1^{k}\\&={n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+\cdots +{n \choose n}\\&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\end{aligned}}}$

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E5%AE%9A%E7%90%86

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