连续系统微分方程——信号与系统学习笔记

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连续时间系统的数学模型

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根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。
给定激励条件和初始状态，求响应。
经数学解析后再回到物理实际。
结构图，例如方框图和信号流图。

注意：一般微分方程的阶次就是未知量的最高阶次，与等号右侧的自由项阶数无关，其完整的判断为$v_c(t)$vc​(t)的最高阶次减去最低阶次。

方程的阶次实际由独立的动态元件个数决定

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连续时间系统的框图表示

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在学习框图的过程中，除了基本的运算符号，还会遇到如前向差分(forward difference)这个差分的概念。
差分运算，相应于微分运算，在模电中我们学习过差分放大电路，就是当该电路的两个输入端的电压有差别时，输出电压才有变动，因此称为差动。

函数的前向差分通常简称为函数的差分。对于函数$y(n)$y(n),在等距节点，我们称$\bm{y(n+1)-y(n)}$y(n+1)−y(n)为一阶前向差分,
同理$\bm{y(n)-y(n-1)}$y(n)−y(n−1)为一阶后向差分；此外还有中心差分$\bm{\frac{1}{2}[y(n+1)-y(n-1)]}$21​[y(n+1)−y(n−1)]

其实求导中就包含差分公式：如用前向差分公式就可以表示为$f^{'}(x)=\frac{f(x_{k+1})-f(x_k)}{x_{k+1}-x{k}}$f′(x)=xk+1​−xkf(xk+1​)−f(xk​)​

差分的阶：
$y(n)=x(n-2)+ay(n-1)$y(n)=x(n−2)+ay(n−1) 方程的阶次仍然是一阶后向差分方程，判别为响应的最高阶次减去响应的最小阶次，与自由项（激励）无关。

标准的差分方程应为$y(n)-ay(n-1)=x(n-2)$y(n)−ay(n−1)=x(n−2)，自由项全在等号右边。

根据框图写微分方程：

详细的求解过程中有一些习惯性的技巧：

1. 从后向前假设
2. 先找加法器，有几个加法器列几个等式
3. 列出后消去中间变量，最后只保留$e(t)和r(t)$e(t)和r(t)

当我们略去推导过程，最后通过式1和式2相互代入其实就可得到我们想要的方程。

根据微分方程画框图：

倒推画框图 由通信博主AHONEY、笔记提供