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【数学】张宇概率论九讲笔记

分类: 文章 • 2025-05-07 12:32:10

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随机事件与概率

【数学】张宇概率论九讲笔记
1.排列组合排列Anr=n(n−1)⋯(n−r+1)从n个不同的元素中任取r个，按一定顺序排成一列组合Cnr=n!(n−r)!r!=Anrr!从n个不同的元素中任取r个，不计顺序排成一组2.五大公式加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)减法公式：P(A−B)=P(A)−P(AB)乘法公式：P(AB)+P(A)P(B∣A)全概率公式：P(A)=∑i=1nP(Bi)P(A∣Bi)逆概率公式：P(Aj∣B)=P(AjB)P(B)=P(Aj)P(B∣Aj)∑i=1nP(Ai)P(B∣Ai)3.条件概率P(B∣A)=P(AB)P(A)  ⟹  P(AB)=P(A)⋅P(B∣A)4.独立P(AB)=P(A)P(B)5.伯努利试验P(X=k)=CNKpk(1−p)n−k \begin{aligned} 1.&\color{red}{排列组合}\\ &排列A_n^r=n(n-1)\cdots(n-r+1)\\ &从n个不同的元素中任取r个，按一定顺序排成一列\\ &组合C_n^r=\frac{n!}{(n-r)!r!}=\frac{A_n^r}{r!}\\ &从n个不同的元素中任取r个，不计顺序排成一组\\ 2.&\color{red}{五大公式}\\ &加法公式：P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\\ &减法公式：P(A-B)=P(A)-P(AB)\\ &乘法公式：P(AB)+P(A)P(B|A)\\ &全概率公式：P(A)=\sum_{i=1}^nP(B_i)P(A|B_i)\\ &逆概率公式：P(A_j|B)=\frac{P(A_jB)}{P(B)}=\frac{P(A_j)P(B|A_j)}{\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)}\\ 3.&\color{red}{条件概率}\\ &P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}\implies P(AB)=P(A)\cdot P(B|A)\\ 4.&\color{red}{独立}\\ &P(AB)=P(A)P(B)\\ 5.&\color{red}{伯努利试验}\\ &P(X=k)=C_N^Kp^k(1-p)^{n-k}\\ \end{aligned}

一维随机变量及分布

【数学】张宇概率论九讲笔记

分布函数的性质

1.lim⁡x→−∞F(x)=0,记为F(−∞)=0,lim⁡x→+∞F(x)=1,记为F(+∞)=12.F(x)是单调非减函数3.F(x)是右连续函数，F(x+0)=F(x)若x∈D为一随机事件，则其概率为P(x∈D)=∫Df(x)dx \begin{aligned} &1.\lim_{x\to-\infty}F(x)=0,记为F(-\infty)=0,\lim_{x\to+\infty}F(x)=1,记为F(+\infty)=1\\ &2.F(x)是单调非减函数\\ &3.F(x)是右连续函数，F(x+0)=F(x)\\ &若x\in D为一随机事件，则其概率为P(x\in D)=\int_Df(x)dx\\ \end{aligned}

离散型随机变量的分布律与分布函数

x123P0.10.50.4F(x)={0,x<10.1,1≤x<20.6,2≤x<31,3≤x \begin{aligned} & \begin{array}{c|c|c|c} x & 1 & 2 & 3 \\ \hline P & 0.1 & 0.5 & 0.4 \end{array}\\ &F(x)=\begin{cases}0,x<1\\0.1,1\leq x<2\\0.6,2\leq x<3\\1,3\leq x\end{cases} \end{aligned}

连续型随机变量的性质

1.f(x)≥02.∫−∞+∞f(x)dx=13.对于∀x1<x2,P(x1<x≤x2)=∫x1x2f(t)dt4.f(x)在连续点处可导，即F′(x)=f(x)常考的两个积分{∫0+∞xne−xdx=n!∫−∞+∞e−x2dx=π \begin{aligned} &1.f(x)\geq0\\ &2.\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\\ &3.对于\forall x_1< x_2,P(x_1< x\leq x_2)=\int_{x_1}^{x_2}f(t)dt\\ &4.f(x)在连续点处可导，即F'(x)=f(x)\\ &常考的两个积分\begin{cases}\int_0^{+\infty}x^ne^{-x}dx=n!\\\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi\end{cases} \end{aligned}

常见分布

离散型定义0与1P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−kP(X=k)=λke−λk!称呼0−1分布二项分布泊松分布记号X∼B(1,p)X∼B(n,p)X∼P(λ)参数ppλ背景一次伯努利试验成功或失败的次数n次伯努利试验成功k次，失败n−k次例如每天收到电话、短信的次数EXpnpλDXp(1−p)np(1−p)λ连续型定义f(x)={1b−a,a≤x≤b0,其他f(x)={λe−λx,x>00,x≤0(λ>0)f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2称呼均匀分布指数分布正态分布记号X∼U[a,b]X∼E(λ)X∼N(μ,σ2)参数a,bλμ,σ背景等公交、地铁、电梯反映使用寿命、生命特征的现象考试成绩的分布EXa+b21λμDX(b−a)2121σ2σ2特殊P(x>t)=e−λt(t>0)X∼N(0,1)→φ(x)=12πe−x22 \begin{aligned} &\color{red}{离散型}\\ & \begin{array}{c|c|c|c} 定义 & 0与1 & P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k} & P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \\ \hline 称呼 & 0-1分布 & 二项分布 & 泊松分布 \\\hline 记号 & X\sim B(1,p) & X\sim B(n,p) & X\sim P(\lambda) \\\hline 参数 & p & p & \lambda\\\hline 背景 & 一次伯努利试验成功或失败的次数 & n次伯努利试验成功k次，失败n-k次 & 例如每天收到电话、短信的次数\\\hline EX & p & np & \lambda \\\hline DX & p(1-p) & np(1-p) & \lambda \\ \end{array}\\ &\color{red}{连续型}\\ & \begin{array}{c|c|c|c} 定义 & f(x)=\begin{cases}\frac1{b-a},a\leq x\leq b\\0,其他\end{cases} & f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},x>0\\0,x\leq 0\end{cases}(\lambda>0) & f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \\ \hline 称呼 & 均匀分布 & 指数分布 & 正态分布 \\\hline 记号 & X\sim U[a,b] & X\sim E(\lambda) & X\sim N(\mu,\sigma^2) \\\hline 参数 & a,b & \lambda & \mu,\sigma\\\hline 背景 & 等公交、地铁、电梯 & 反映使用寿命、生命特征的现象 & 考试成绩的分布\\\hline EX & \frac{a+b}2 & \frac1\lambda & \mu \\\hline DX & \frac{(b-a)^2}{12} & \frac1{\sigma^2} & \sigma^2 \\\hline 特殊 & & P(x>t)=e^{-\lambda t}(t>0) & X\sim N(0,1)\to\varphi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}2} \end{array} \end{aligned}

期望方差

期望:E(x)=∫−∞+∞xd[F(x)]={∑ixipi,X为离散型随机变量∫−∞∞xf(x)dx,X为连续型随机变量若随机变量X的概率分布已知，则随机变量函数g(x)的数学期望为E(g(X))={∑ig(xi)pi,X为离散型∫−∞∞g(x)f(x)dx,X为连续型性质:E(c)=CE(cX)=CE(X)E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(XY)=E(X)E(Y)方差:D(X)=E[X−E(X)]2={∑i[xi−E(X)]2pi,当X为离散型时∫−∞+∞[x−E(X)]2f(x)dx,当X为连续型时性质:D(c)=0D(cX)=C2D(X)D(X+Y)=D(X)+D(Y)−2E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}D(X)=e(X2)−[E(X)]2D(X+Y)=D(X)+D(Y)(独立) \begin{aligned} 期望:&E(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}xd[F(x)]=\begin{cases}\sum_ix_ip_i,X为离散型随机变量\\\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx,X为连续型随机变量\end{cases}\\ &若随机变量X的概率分布已知，则随机变量函数g(x)的数学期望为E(g(X))=\begin{cases}\sum_ig(x_i)p_i,X为离散型\\\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx,X为连续型\end{cases}\\ 性质:&E(c)=C\quad E(cX)=CE(X)\quad E(X+Y)=E(X)+E(Y)\quad E(XY)=E(X)E(Y)\\ 方差:&D(X)=E[X-E(X)]^2=\begin{cases}\sum_i[x_i-E(X)]^2p_i,当X为离散型时\\\int_{-\infty}^{+\infty}[x-E(X)]^2f(x)dx,当X为连续型时\end{cases}\\ 性质:&D(c)=0\quad D(cX)=C^2D(X)\\ &D(X+Y)=D(X)+D(Y)-2E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}\\ &D(X)=e(X^2)-[E(X)]^2\quad D(X+Y)=D(X)+D(Y)(独立) \end{aligned}

宇哥笔记

随机事件与概率

古典概型

定义

 [定义]若Ω中有有限个、等可能的样本点，称为古典概型即P(A)=A中样本点个数Ω中样本点数[注]1.试验(E)同条件下可重复；试验结果不止一个；试验前不知哪个结果会出现2.Ω——样本空间——所有可能结果；ω——样本点[例]P(掷出奇数点)=12 \begin{aligned} \ [定义]&若\Omega中有有限个、等可能的样本点，称为古典概型\\ &即P(A)=\frac{A中样本点个数}{\Omega中样本点数}\\ [注]&1.试验(E)同条件下可重复；试验结果不止一个；试验前不知哪个结果会出现\\ &2.\Omega——样本空间——所有可能结果；\omega——样本点\\ [例]&P(掷出奇数点)=\frac12\\ \end{aligned}

随机分配(占位)

 [例]设n个球随机放入N(n≤N)个盒子中，每个盒子可放任意多个球，求(1)A={某指定n个盒子各有一球}(2)B={恰有n个盒子各有一球}(1)P(A)=n⋅(n−1)(n−2)⋯1Nn=n!Nn(2)P(B)=CNn⋅n!Nn[注]类比:12个人，每个人在365天出生等可能(1)A={生日分别为每个月的第一天}  ⟹  P(A)=12!36512(2)B={生日全不相同}  ⟹  P(B)=C36512⋅12!36512B‾={至少两个人生日相同}  ⟹  P(B‾)=1−P(B) \begin{aligned} \ [例]&\color{maroon}设n个球随机放入N(n\leq N)个盒子中，每个盒子可放任意多个球，求\\ &\color{maroon}(1)A=\{某指定n个盒子各有一球\}\\ &\color{maroon}(2)B=\{恰有n个盒子各有一球\}\\ &(1)P(A)=\frac{n\cdot(n-1)(n-2)\cdots1}{N^n}=\frac{n!}{N^n}\\ &(2)P(B)=\frac{C_N^n\cdot n!}{N^n}\\ [注]&类比:12个人，每个人在365天出生等可能\\ &(1)A=\{生日分别为每个月的第一天\}\implies P(A)=\frac{12!}{365^{12}}\\ &(2)B=\{生日全不相同\}\implies P(B)=\frac{C_{365}^{12}\cdot 12!}{365^{12}}\\ &\quad \overline{B}=\{至少两个人生日相同\}\implies P(\overline{B})=1-P(B)\\ \end{aligned}

简单随机抽样

 [例]袋中有5个球，3白2黑(1)先后有放回取2个球(2)先后无放回取2个球(3)任取2个球求取的2球中至少一个白球的概率算‘两球全黑’，用总数减去它(1)P1=52−2252=2125(2)P2=5⋅4−2⋅15⋅4=910(3)P3=C52−C22C52=910[注]′先后无放回取k个球′与′任取k个球′概率相等，后者好算 \begin{aligned} \ [例]&\color{maroon}袋中有5个球，3白2黑\\ &\color{maroon}(1)先后有放回取2个球\\ &\color{maroon}(2)先后无放回取2个球\\ &\color{maroon}(3)任取2个球\\ &\color{maroon}求取的2球中至少一个白球的概率\\ &\color{maroon}算‘两球全黑’，用总数减去它\\ &(1)P_1=\frac{5^2-2^2}{5^2}=\frac{21}{25}\\ &(2)P_2=\frac{5\cdot4-2\cdot1}{5\cdot4}=\frac{9}{10}\\ &(3)P_3=\frac{C_5^2-C_2^2}{C_5^2}=\frac{9}{10}\\ [注]&'先后无放回取k个球'与'任取k个球'概率相等，后者好算\\ \end{aligned}

几何概型

 [定义]若Ω是一个可度量的几何区域，且样本点落入Ω中的某一可度量子区域A的可能性大小与A的几何度量成正比，而与A的位置、形状无关，称为几何概型,即P(A)=A的度量Ω的度量[引例]天上掉馅饼于操场上，拿一个饭盆A去接这个馅饼，P(A)=A的面积Ω的面积[例]随机取两个正数x,y，这两个数中的每一个都不超过1，求x与y之和不超过1，积不小于0.09的概率.SA=∫0.10.9[1−x−0.09x]dx=0.8−x22∣0.10.9−0.09ln⁡x∣0.10.9=0.8−0.4−0.18⋅ln⁡3≈0.2P(A)=SASΩ=20% \begin{aligned} \ [定义]&若\Omega是一个可度量的几何区域，且样本点落入\Omega中的某一可度量子区域A的可能性大小与A的几何度量成正比，\\ &而与A的位置、形状无关，称为几何概型,即P(A)=\frac{A的度量}{\Omega的度量}\\ [引例]&天上掉馅饼于操场上，拿一个饭盆A去接这个馅饼，P(A)=\frac{A的面积}{\Omega的面积}\\ [例]&\color{maroon}随机取两个正数x,y，这两个数中的每一个都不超过1，求x与y之和不超过1，积不小于0.09的概率.\\ &S_A=\int_{0.1}^{0.9}[1-x-\frac{0.09}{x}]dx=0.8-\frac{x^2}2|_{0.1}^{0.9}-0.09\ln x | _{0.1}^{0.9}=0.8-0.4-0.18\cdot\ln3\approx0.2\\ &P(A)=\frac{S_A}{S_\Omega}=20\% \end{aligned}

重要公式

 [公式]1.对立 P(A)=1−P(A‾)2.减法 P(AB‾)=P(A−B)=P(A)−P(AB)(A发生且B不发生)3.加法 (1)P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)(2)P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(BC)−P(AC)+P(ABC)[注]1.若A1,A2,⋯ ,An(n>3)两两互斥  ⟹  P(⋃i=1nAi)=∑i=1nP(Ai)2.设A1,A2,⋯ ,An(n>3),若对其中任意有限个Ai1,Ai2,⋯ ,Aik(k≥2),都有P(Ai1Ai2⋯Aik)=P(Ai1)P(Ai2)⋯P(Aik)  ⟹  A1,A2,⋯ ,An相互独立且′夫唱妇随′，即：n个事件相互独立  ⟺  A,B独立  ⟺  A‾,B‾独立  ⟺  A‾,B独立  ⟺  A,B‾独立n=3,A1,A2,A3,有{P(A1A2)=P(A1)P(A2)P(A1A3)=P(A1)P(A3)P(A2A3)=P(A2)P(A3)P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)相互独立若上者只成立前三条，则称为两两独立于是若A1,A2,⋯ ,An相互独立，则P(⋃i=1nAi)=1−P(⋃i=1nAi)=1−P(⋂i=1nAi‾)=1−∏i=1n[1−P(Ai)]即A1‾,A2‾,⋯ ,An‾相互独立4.条件概率 P(A∣B)=P(AB)P(B),P(B)>05.乘法 P(AB)={P(B)P(A∣B),P(B)>0P(A)P(B∣A),P(A)>0P(A1A2A3)=P(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A1A2)6.全集分解公式（全概率公式）[引例]一个村子有且仅有三个小偷A1,A2,A3,求P(B)=P{失窃}分成两个阶段{1.选人A1,A2,A32.去偷,B则P(B)=P(BΩ)=P(B∩(A1∪A2∪A3))=P(BA1∪BA2∪BA3)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=P(A1)P(B∣A1)+P(A2)P(B∣A2)+P(A3)P(B∣A3)故P(B)=∑i=1nP(Ai)P(B∣Ai)7.贝叶斯公式（逆概率公式） 若B发生了，执果索因P(Aj∣B)=P(AjB)P(B)=P(Aj)P(B∣Aj)∑i=1nP(Ai)P(B∣Ai) \begin{aligned} \ [公式]1.&对立\ P(A)=1-P(\overline{A})\\ 2.&减法\ P(A\overline{B})=P(A-B)=P(A)-P(AB)(A发生且B不发生)\\ 3.&加法\ (1)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)\\ &(2)P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)\\ &[注]\color{grey}1.若A_1,A_2,\cdots,A_n(n>3)两两互斥\implies P(\bigcup_{i=1}^nA_i)=\sum_{i=1}^nP(A_i)\\ &\color{grey}2.设A_1,A_2,\cdots,A_n(n>3),若对其中任意有限个A_{i1},A_{i2},\cdots,A_{ik}(k\geq2),\\ &\color{grey}都有P(A_{i1}A_{i2}\cdots A_{ik})=P(A_{i1})P(A_{i2})\cdots P(A_{ik})\implies A_1,A_2,\cdots,A_n相互独立\\ &\color{grey}且'夫唱妇随'，即：n个事件相互独立\iff A,B独立\iff\overline{A},\overline{B}独立\iff\overline{A},B独立\iff A,\overline{B}独立\\ &\color{grey}n=3,A_1,A_2,A_3,有\begin{cases}P(A_1A_2)=P(A_1)P(A_2)\\P(A_1A_3)=P(A_1)P(A_3)\\P(A_2A_3)=P(A_2)P(A_3)\\P(A_1A_2A_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)\end{cases}相互独立\\ &\color{grey}若上者只成立前三条，则称为两两独立\\ &\color{grey}于是若A_1,A_2,\cdots,A_n相互独立，则P(\bigcup_{i=1}^nA_i)=1-P(\bigcup_{i=1}^nA_i)=1-P(\bigcap_{i=1}^n\overline{A_i})=1-\prod_{i=1}^n[1-P(A_i)]\\ &\color{grey}即\overline{A_1},\overline{A_2},\cdots,\overline{A_n}相互独立\\ 4.&条件概率\ P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)},P(B)>0\\ 5.&乘法\ P(AB)=\begin{cases}P(B)P(A\mid B),P(B)>0\\P(A)P(B\mid A),P(A)>0\end{cases}\\ &P(A_1A_2A_3)=P(A_1)P(A_2\mid A_1)P(A_3\mid A_1A_2)\\ 6.&全集分解公式（全概率公式）\\ &[引例]一个村子有且仅有三个小偷A_1,A_2,A_3,求P(B)=P\{失窃\}\\ &分成两个阶段\begin{cases}1.选人A_1,A_2,A_3\\2.去偷,B\end{cases}\\ &则P(B)=P(B\Omega)=P(B\cap(A_1\cup A_2\cup A_3))\\ &=P(BA_1\cup BA_2\cup BA_3)=P(BA_1)+P(BA_2)+P(BA_3)\\ &=P(A_1)P(B\mid A_1)+P(A_2)P(B\mid A_2)+P(A_3)P(B\mid A_3)\\ &故P(B)=\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B\mid A_i)\\ 7.&贝叶斯公式（逆概率公式）\ 若B发生了，执果索因\\ &P(A_j\mid B)=\frac{P(A_jB)}{P(B)}=\frac{P(A_j)P(B\mid A_j)}{\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B\mid A_i)} \end{aligned}

 [例1]以下结论，错误的是（D）？(A)若0<P(B)<1,P(A∣B)+P(A‾∣B‾)=1(B)若A,B满足P(B∣A)=1,则P(A−B)=0(C)(A−B)∪B=A∪B(D)若A,B同时发生时，C必发生，则P(C)<P(A)+P(B)−1(A) P(AB)P(B)+P(A‾B‾)P(B‾)=P(AB)P(B)+1−P(A+B)1−P(B)=P(AB)P(B)+1−P(A)−P(B)+P(AB)1−P(B)=P(AB)−P(AB)P(B)+P(B)−P(A)P(B)−[P(B)]2+P(B)P(AB)P(B)[1−P(B)]=1  ⟹  P(AB)+P(B)−P(A)P(B)−[P(B)]2=P(B)−[P(B)]2  ⟹  P(AB)=P(A)P(B)(B) P(AB)P(A)=1  ⟹  P(AB)=P(A)  ⟹  P(A−B)=P(A)−P(AB)=0(C) (AB‾)∪B=(A∩B‾)∪B=(A∪B)∩(B‾∪B)=A∪B(D) P(AB)≤P(C)  ⟹  P(A)+P(B)−P(A+B)≤P(C)  ⟹  P(A)+P(B)−P(A+B)≥P(A)+P(B)−1  ⟹  P(C)≥P(A)+P(B)−1[例2]设有甲、乙两名运动员，甲命中目标的概率为0.6,乙命中目标的概率为0.5,求下列概率。(1)从甲、乙中任选一人取射击，若目标被命中，则是甲命中的概率是多少？(2)甲、乙各自独立射击，若目标被命中，则是甲命中的概率？(1)分两个阶段{1.选人，A甲，A乙2.射击，命中=BP(A甲∣B)=P(A甲)P(B∣A甲)P(A甲)P(B∣A甲)+P(A乙)P(B∣A乙)=12⋅0.612⋅0.6+12⋅0.5=611(2)P(A甲∣B)=P(A甲B)P(B)=P(A甲)P(A甲)+P(A乙)−P(A甲A乙)=0.60.6+0.5−0.6⋅0.5=34[例3]每箱有24只产品，每箱含0,1,2件残品的箱各占80%,15%,5%,现随机抽一箱，随即检验其中4只,若未发现残品则通过验收，否则要逐一检验并更换，求(1)一次通过验收的概率(2)通过验收的箱中确无残品的概率(1)记Ai={抽取的一箱中含i件残品}.i=0,1,2.但P(A0)=0.8,P(A1)=0.15,P(A2)=0.05分阶段{1.取箱子2.取4只检验，收为Bor不收为B‾P(B)=P(A0)P(B∣A0)+P(A1)P(B∣A1)+P(A2)P(B∣A2)=0.8⋅1+0.15⋅C234C244+0.05⋅C224C244≈0.96(2)P(A0∣B)=0.80.96≈0.83 \begin{aligned} \ [例1]&\color{maroon}以下结论，错误的是（D）？\\ &\color{maroon}(A)若0< P(B)< 1,P(A\mid B)+P(\overline{A}\mid\overline{B})=1\\ &\color{maroon}(B)若A,B满足P(B\mid A)=1,则P(A-B)=0\\ &\color{maroon}(C)(A-B)\cup B=A\cup B\\ &\color{maroon}(D)若A,B同时发生时，C必发生，则P(C)< P(A)+P(B)-1\\ &(A)\ \frac{P(AB)}{P(B)}+\frac{P(\overline{A}\overline{B})}{P(\overline{B})}=\frac{P(AB)}{P(B)}+\frac{1-P(A+B)}{1-P(B)}=\frac{P(AB)}{P(B)}+\frac{1-P(A)-P(B)+P(AB)}{1-P(B)}\\ &=\frac{P(AB)-P(AB)P(B)+P(B)-P(A)P(B)-[P(B)]^2+P(B)P(AB)}{P(B)[1-P(B)]}=1\\ &\implies P(AB)+P(B)-P(A)P(B)-[P(B)]^2=P(B)-[P(B)]^2\implies P(AB)=P(A)P(B)\\ &(B)\ \frac{P(AB)}{P(A)}=1\implies P(AB)=P(A)\\ &\implies P(A-B)=P(A)-P(AB)=0\\ &(C)\ (A\overline{B})\cup B=(A\cap \overline{B})\cup B=(A\cup B)\cap(\overline{B}\cup B)=A\cup B\\ &(D)\ P(AB)\leq P(C)\implies P(A)+P(B)-P(A+B)\leq P(C)\\ &\implies P(A)+P(B)-P(A+B)\geq P(A)+P(B)-1\implies P(C)\geq P(A)+P(B)-1\\ [例2]&\color{maroon}设有甲、乙两名运动员，甲命中目标的概率为0.6,乙命中目标的概率为0.5,求下列概率。\\ &\color{maroon}(1)从甲、乙中任选一人取射击，若目标被命中，则是甲命中的概率是多少？\\ &\color{maroon}(2)甲、乙各自独立射击，若目标被命中，则是甲命中的概率？\\ &(1)分两个阶段\begin{cases}1.选人，A_甲，A_乙\\2.射击，命中=B\end{cases}\\ &P(A_甲\mid B)=\frac{P(A_甲)P(B\mid A_甲)}{P(A_甲)P(B\mid A_甲)+P(A_乙)P(B\mid A_乙)}\\ &=\frac{\frac12\cdot0.6}{\frac12\cdot0.6+\frac12\cdot0.5}=\frac6{11}\\ &(2)P(A_甲\mid B)=\frac{P(A_甲B)}{P(B)}=\frac{P(A_甲)}{P(A_甲)+P(A_乙)-P(A_甲A_乙)}=\frac{0.6}{0.6+0.5-0.6\cdot0.5}=\frac34\\ [例3]&\color{maroon}每箱有24只产品，每箱含0,1,2件残品的箱各占80\%, 15\%, 5\%,现随机抽一箱，随即检验其中4只,\\ &\color{maroon}若未发现残品则通过验收，否则要逐一检验并更换，求\\ &\color{maroon}(1)一次通过验收的概率\\ &\color{maroon}(2)通过验收的箱中确无残品的概率\\ &(1)记A_i=\{抽取的一箱中含i件残品\}.i=0,1,2.\\ &但P(A_0)=0.8,P(A_1)=0.15,P(A_2)=0.05\\ &分阶段\begin{cases}1.取箱子\\2.取4只检验，收为Bor不收为\overline{B}\end{cases}\\ &P(B)=P(A_0)P(B\mid A_0)+P(A_1)P(B\mid A_1)+P(A_2)P(B\mid A_2)\\ &=0.8\cdot1+0.15\cdot\frac{C_{23}^4}{C_{24}^4}+0.05\cdot\frac{C_{22}^4}{C_{24}^4}\approx0.96\\ &(2)P(A_0\mid B)=\frac{0.8}{0.96}\approx0.83 \end{aligned}

一维随机变量及其分布

随机变量与分布函数

(1)r,v(随机变量)定义在Ω={ω}上，取值在实数轴上的变量。即X=X(ω),ω∈Ω(2)分布函数F(x)=P{X≤x},其中−∞<x<+∞. \begin{aligned} &(1)r,v(随机变量)\quad 定义在\Omega=\{\omega\}上，取值在实数轴上的变量。即X=X(\omega),\omega\in\Omega\\ &(2)分布函数F(x)=P\{X\leq x\},其中-\infty< x<+\infty. \end{aligned}

离散型随机变量

 [定义]x取有限个或无穷可列个值[分布律]x∼(x1x2⋯xn⋯P1P2⋯Pn⋯)F(x)=P{X≤x},离散型r,v  ⟺  步步高的阶梯形函数 \begin{aligned} \ [定义]&x取有限个或无穷可列个值\\ [分布律]&x\sim\begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n&\cdots\\P_1&P_2&\cdots&P_n&\cdots\end{pmatrix}\\ &F(x)=P\{X\leq x\},离散型r,v\iff 步步高的阶梯形函数\\ \end{aligned}

连续型随机变量

 [定义]若存在非负可积函数f(x),使得∀x∈(−∞,+∞),有F(x)=∫−∞xf(t)dt,则称x为连续型r,v.f(x)叫概率密度[注]F(x)=P{X≤x}={∫−∞xf(t)dt,连续型∑xi≤xPi,离散型 \begin{aligned} \ [定义]&若存在非负可积函数f(x),使得\forall x\in(-\infty,+\infty),有F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt,则称x为连续型r,v.f(x)叫概率密度\\ [注]&F(x)=P\{X\leq x\}=\begin{cases}\int_{-\infty}^xf(t)dt,连续型\\\sum_{x_i\leq x}P_i,离散型\end{cases}\\ \end{aligned}

X~F(x)

X∼F(x){Pi→分布律f(x)→概率密度(1)F(x)是某个X的分布函数  ⟺  {1.单调不减2.F(−∞)=0,F(+∞)=13.右连续(等号跟着大于号)(2){Pi}是分布律  ⟺  {1.Pi≥02.∑iPi=1(3)f(x)是概率密度  ⟺  {1.f(x)≥02.∫−∞+∞f(x)dx=1 \begin{aligned} &X\sim F(x)\begin{cases}P_i\to分布律\\f(x)\to概率密度\end{cases}\\ &(1)F(x)是某个X的分布函数\iff\begin{cases}1.单调不减\\2.F(-\infty)=0,F(+\infty)=1\\3.右连续(等号跟着大于号)\end{cases}\\ &(2)\{P_i\}是分布律\iff\begin{cases}1.P_i\geq0\\2.\sum_iP_i=1\end{cases}\\ &(3)f(x)是概率密度\iff\begin{cases}1.f(x)\geq0\\2.\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\end{cases}\\ \end{aligned}

八个常见分布

(1)−(5)离散型(6)−(8)连续型(1)0−1分布X∼(10P1−P)(2)二项分布{1.独立2.P(A)=P3.只有A,A‾,非白即黑记X为A发生的次数,P{x=k}=CnkPk(1−P)n−k,k=0,1,⋯ ,n  ⟹  X∼B(n,P)(3)几何分布与几何无关，首中即停止，记X为试验次数  ⟹  P{x=k}=P1(1−P)k−1,k=1,2,⋯(4)超几何分布古典概型，设N件产品，M、件正品，N−M件次品，无放回取n次，则P{x=k}=CMkCN−Mn−kCNn(5)泊松分布某时间段内，某场合下，源源不断的质点来流的个数,也常用于描述稀有事件的PP{X=k}=λkk!e−λ,{λ−−强度k=0,1,⋯(6)均匀分布对比几何概型，若X∼f(x)={1b−a,a≤x≤b0,其他,称X∼U[a,b][注]高档次说法：“X在I上的任意子区间取值的概率与该子区间长度成正比”→X∼U(I)(7)指数分布X∼f(x)={λe−λx,x>00,x≤0,称X∼E(λ),λ−−失效率[注]无记忆性 P{X≥t+s∣X≥t}=P{x≥s}F(x)=P{X≤x}=∫−∞xf(t)dt={1−e−λx,x≥00,x<0{几何分布，离散性等待分布指数分布，连续性等待分布(8)正态分布X∼f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2,−∞<x<+∞[注]若μ=0,σ2=1  ⟹  X∼N(0,1)X∼φ(x)=12πe−x22X∼Φ(x)=∫−∞x12πe−t22dt \begin{aligned} &(1)-(5)离散型\quad(6)-(8)连续型\\ (1)&0-1分布\quad X\sim\begin{pmatrix}1&0\\P&1-P\end{pmatrix}\\ (2)&二项分布\quad \begin{cases}1.独立\\2.P(A)=P\\3.只有A,\overline{A},非白即黑\end{cases}\\ &记X为A发生的次数,P\{x=k\}=C_n^kP^k(1-P)^{n-k},k=0,1,\cdots,n\\ &\implies X\sim B(n,P)\\ (3)&几何分布\quad 与几何无关，首中即停止，记X为试验次数\implies P\{x=k\}=P^1(1-P)^{k-1},k=1,2,\cdots\\ (4)&超几何分布\quad 古典概型，设N件产品，M、件正品，N-M件次品，无放回取n次，则P\{x=k\}=\frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}\\ (5)&泊松分布\quad某时间段内，某场合下，源源不断的质点来流的个数,也常用于描述稀有事件的P\\ &P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\begin{cases}\lambda--强度\\k=0,1,\cdots\end{cases}\\ (6)&均匀分布\quad 对比几何概型，若X\sim f(x)=\begin{cases}\frac1{b-a},a\leq x\leq b\\0,其他\end{cases},称X\sim U[a,b]\\ &[注]高档次说法：“X在I上的任意子区间取值的概率与该子区间长度成正比”\to X\sim U(I)\\ (7)&指数分布\quad X\sim f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},x>0\\0,x\leq0\end{cases},称X\sim E(\lambda),\lambda--失效率\\ &[注]无记忆性\ P\{X\geq t+s\mid X\geq t\}=P\{x\geq s\}\\ &F(x)=P\{X\leq x\}=\int_{-\infty}^xf(t)dt=\begin{cases}1-e^{-\lambda x},x\geq0\\0,x< 0\end{cases}\\ &\begin{cases}几何分布，离散性等待分布\\指数分布，连续性等待分布\end{cases}\\ (8)&正态分布\quad X\sim f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},-\infty< x< +\infty\\ &[注]若\mu=0,\sigma^2=1\implies X\sim N(0,1)\\ &X\sim\varphi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}2}\\ &X\sim\Phi(x)=\int_{-\infty}^x\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}2}dt\\ \end{aligned}

 [例1]设X∼F(x),f(x)=af1(x)+bf2(x),f1(x)∼N(0,σ2),f2(x)∼E(λ)F(0)=18,则a=‾,b=‾1.∫−∞+∞f(x)dx=a∫−∞+∞f1(x)dx+b∫−∞+∞f2(x)dx  ⟹  1=a+b2.F(0)=∫−∞0f(x)dx=a∫−∞0f1(x)dx+b∫−∞0f2(x)dx=18即a⋅12+b⋅0=18  ⟹  a=14  ⟹  b=34[例2]X∼f(x)={Ae−x,x>λ0,其他,λ>0,P{λ<X<λ+a}(a>0)的值∫−∞+∞f(x)dx=1  ⟹  ∫λ+∞Ae−xdx=1  ⟹  A⋅e−x∣+∞λ=Ae−λ=1  ⟹  A=eλ  ⟹  P{λ<X<λ+a}=∫λλ+aeλ⋅e−xdx=eλ[e−x]∣λ+aλ=eλ⋅(e−λ−e−(λ+a))=1−e−a故其值与λ无关，随着a的增大其概率增大[例3]X∼E(λ),对X作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于2的概率为78,则λ=‾记Y={对X作三次独立重复观察中观测值大于2发生的次数}  ⟹  Y∼B(3,P)其中P={X>2}=∫2+∞f(x)dx=1−P{X≤2}=1−F(2)=1−[1−e−2λ]=e−2λ由题意，得P{Y≥1}=78=1−P{Y=0}=1−(1−P)3=1−(1−e−2λ)3  ⟹  e−2λ=12  ⟹  λ=−12ln⁡12=12ln⁡2[例4]X∼E(λ)求Y=1−e−λx∼fY(y)X∼fX(x),Y=g(X),求fY(y)1.FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{X∈Iy}=∫Iyfx(x)dx2.fY(y)=FY′(y)1.FY(y)=P{Y≤y}=P{1−e−λx≤y}(1)y<0  ⟹  FY(y)=0(2)y≥1  ⟹  FY(y)=1(3)0≤y≤1  ⟹  FY(y)=P{0≤X≤−1λln⁡(1−y)}=FX(−1λln⁡(1−y))=1−e−λ[−1λln⁡(1−y)]2.fY(y)={1,0≤y<10,其他 \begin{aligned} \ [例1]&\color{maroon}设X\sim F(x),f(x)=af_1(x)+bf_2(x),f_1(x)\sim N(0,\sigma^2),f_2(x)\sim E(\lambda)\\ &\color{maroon}F(0)=\frac18,则a=\underline{\quad},b=\underline{\quad}\\ &1.\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=a\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x)dx+b\int_{-\infty}^{+\infty}f_2(x)dx\implies 1=a+b\\ &2.F(0)=\int_{-\infty}^0f(x)dx=a\int_{-\infty}^{0}f_1(x)dx+b\int_{-\infty}^{0}f_2(x)dx=\frac18\\ &即a\cdot\frac12+b\cdot0=\frac18\implies a=\frac14\implies b=\frac34\\ [例2]&\color{maroon}X\sim f(x)=\begin{cases}Ae^{-x},x>\lambda\\0,其他\end{cases},\lambda>0,P\{\lambda< X< \lambda+a\}(a>0)的值\\ &\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\implies \int_{\lambda}^{+\infty}Ae^{-x}dx=1\implies A\cdot e^{-x}\mid^\lambda_{+\infty}=Ae^{-\lambda}=1\implies A=e^{\lambda}\\ &\implies P\{\lambda< X< \lambda+a\}=\int_{\lambda}^{\lambda+a}e^{\lambda}\cdot e^{-x}dx=e^{\lambda}[e^{-x}]\mid^{\lambda}_{\lambda+a}=e^{\lambda}\cdot(e^{-\lambda}-e^{-(\lambda+a)})=1-e^{-a}\\ &故其值与\lambda无关，随着a的增大其概率增大\\ [例3]&\color{maroon}X\sim E(\lambda),对X作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于2的概率为\frac78,则\lambda=\underline{\quad}\\ &记Y=\{对X作三次独立重复观察中观测值大于2发生的次数\}\implies Y\sim B(3,P)\\ &其中P=\{X>2\}=\int_2^{+\infty}f(x)dx=1-P\{X\leq2\}=1-F(2)=1-[1-e^{-2\lambda}]=e^{-2\lambda}\\ &由题意，得P\{Y\geq1\}=\frac78=1-P\{Y=0\}=1-(1-P)^3=1-(1-e^{-2\lambda})^3\\ &\implies e^{-2\lambda}=\frac12\implies \lambda=-\frac12\ln\frac12=\frac12\ln2\\ [例4]&\color{maroon}X\sim E(\lambda)求Y=1-e^{-\lambda x}\sim f_Y(y)\\ &X\sim f_X(x),Y=g(X),求f_Y(y)\\ &1.F_Y(y)=P\{Y\leq y\}=P\{g(X)\leq y\}=P\{X\in I_y\}=\int_{I_y}f_x(x)dx\\ &2.f_Y(y)=F_Y'(y)\\ &1.F_Y(y)=P\{Y\leq y\}=P\{1-e^{-\lambda x}\leq y\}\\ &(1)y< 0\implies F_Y(y)=0\\ &(2)y\geq1\implies F_Y(y)=1\\ &(3)0\leq y\leq1\implies F_Y(y)=P\{0\leq X\leq -\frac1{\lambda}\ln(1-y)\}=F_X(-\frac1{\lambda}\ln(1-y))=1-e^{-\lambda[-\frac1{\lambda}\ln(1-y)]}\\ &2.f_Y(y)=\begin{cases}1,0\leq y< 1\\0,其他\end{cases}\\ \end{aligned}

多元随机变量及其分布

概念

1.联合分布设(X,Y),F(x,y)=P{X≤x,Y≤y},−∞<x<+∞,−∞<y<+∞2.边缘分布FX(x)=lim⁡y→+∞F(x,y),FY(y)=lim⁡x→+∞F(x,y)[注]1.离散型(X,Y)∼Pij(联合分布律)条件分布为P(X=xi∣Y=yi)=P(X=xi,Y=yj)P(Y=yj)=PijP⋅jP(X=1∣Y=0)=P21P⋅1条件=联合边缘2.连续型(X,Y)∼f(x,y)(联合概率密度)边缘密度为fX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dy,fY(y)=∫−∞+∞f(x,y)dx条件密度为fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)无论离散还是连续，条件=联合边缘3.独立性设(X,Y),X,Y独立  ⟺  F(x,y)=FX(x)⋅FY(y)  ⟺  Pij=Pi⋅⋅P⋅j,∀i,j  ⟺  f(x,y)=fX(x)⋅fY(y)4.两个分布(1)均匀分布(X,Y)∼f(x,y)={1SD,(x,y)∈D0,(x,y)∉D(2)正态分布(X,Y)∼N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)其中EX=μ1,EY=μ2,DX=σ12,DY=σ22,ϱxy=ρ \begin{aligned} 1.&联合分布\quad 设(X,Y),F(x,y)=P\{X\leq x,Y\leq y\},-\infty< x<+\infty,-\infty< y<+\infty\\ 2.&边缘分布\quad F_X(x)=\lim_{y\to+\infty}F(x,y),F_Y(y)=\lim_{x\to+\infty}F(x,y)\\ [注]&1.离散型(X,Y)\sim P_{ij}(联合分布律)\\ &条件分布为P(X=x_i\mid Y=y_i)=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}=\frac{P_{ij}}{P_{\cdot j}}\\ &P(X=1\mid Y=0)=\frac{P_{21}}{P_{\cdot 1}}\\ &条件=\frac{联合}{边缘}\\ &2.连续型(X,Y)\sim f(x,y)(联合概率密度)\\ &边缘密度为f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy,f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx\\ &条件密度为f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\\ &无论离散还是连续，条件=\frac{联合}{边缘}\\ 3.&独立性\quad 设(X,Y),X,Y独立\iff F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)\\ &\iff P_{ij}=P_{i\cdot}\cdot P_{\cdot j},\forall i,j\\ &\iff f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)\\ 4.&两个分布\\ &(1)均匀分布\quad (X,Y)\sim f(x,y)=\begin{cases}\frac1{S_D},(x,y)\in D\\0,(x,y)\notin D\end{cases}\\ &(2)正态分布\quad (X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)\\ &其中EX=\mu_1,EY=\mu_2,DX=\sigma_1^2,DY=\sigma_2^2,\varrho_{xy}=\rho\\ \end{aligned}

用分布求概率

 [例1](X,Y)∼X Y010a0.410.1b若{x=0}与{X+Y=1}独立，令U=max{X,Y},V=min{X,Y},则P={U+V=1}=‾U=max{X,Y}=(X+Y)+∣X−Y∣2V=min{X,Y}=(X+Y)−∣X−Y∣2U+V=X+Y  ⟹  P(U+V=1)=P{X+Y=1}=0.5[例2]设(X,Y)在D={(x,y)∣1≤x≤e2,0≤y≤1x}上服从均匀分布则(X,Y)关于x∼fX(x)在x=e处得值为‾SD=∫1e21xdx=ln⁡x∣1e2=2−0=2  ⟹  (X,Y)∼f(x,y)={12,(x,y)∈D0,(x,y)∉D求谁不积谁，不积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限fX(x)={∫01x12dy,1≤x≤e20,其他={12x,1≤x≤e20,其他  ⟹  fX(e)=12e[例3](X,Y)∼f(x,y)={x,0<x<1,0<y<x0,其他，求Z=X−Y的fZ(z)(X,Y)∼f(x,y),Z=g(x,y)  ⟹  fZ(z)1.FZ(z)=P{Z≤z}=P{g(X,Y)≤z}=∬g(x,y)≤zf(x,y)dσ2.fZ(z)=FZ′(z)1.FZ(z)=P{Z≤z}=P{X−Y≤z}(1)z<0  ⟹  FZ(z)=0(2)z≥1  ⟹  FZ(z)=1(3)0≤z<1  ⟹  FZ(z)=∬Df(x,y)dσ=∫0zdx∫0x3xdy+∫z1dx∫x−zx3xdy=32z−12z3  ⟹  fZ(z)={32−32z2,0≤z<10,其他[例4]X,Y相互独立，P{X=0}=P{X=1}=12,P{Y≤x}=x,0<y≤1,求Z=XY的分布函数X∼Pi,Y∼fY(y)={1,0<y<10,其他(1)选X;(2)作XYFZ(z)=P{Z≤z}=P{XY≤z}=P(X=0)P(XY≤z∣X=0)+P(X=1)P(XY≤z∣X=1)12[P(0≤z)+P(Y≤z)]=12FZ(z)={z<0  ⟹  FZ(z)=0z≥1  ⟹  FZ(z)=10≤z<1  ⟹  FZ(z)=12(1+z) \begin{aligned} \ [例1]&\color{maroon}(X,Y)\sim \begin{array}{c|cc} X\ Y & 0 & 1 \\ \hline 0 & a & 0.4 \\ 1 & 0.1 & b \\ \end{array}\\ &\color{maroon}若\{x=0\}与\{X+Y=1\}独立，令U=max\{X,Y\},V=min\{X,Y\},则P=\{U+V=1\}=\underline{\quad}\\ &U=max\{X,Y\}=\frac{(X+Y)+\mid X-Y\mid}{2}\\ &V=min\{X,Y\}=\frac{(X+Y)-\mid X-Y\mid}2\\ &U+V=X+Y\implies P(U+V=1)=P\{X+Y=1\}=0.5\\ [例2]&\color{maroon}设(X,Y)在D=\{(x,y)\mid 1\leq x\leq e^2,0\leq y\leq \frac1x\}上服从均匀分布\\ &\color{maroon}则(X,Y)关于x\sim f_X(x)在x=e处得值为\underline{\quad}\\ &S_D=\int_1^{e^2}\frac1xdx=\ln x\mid^{e^2}_1=2-0=2\\ &\implies (X,Y)\sim f(x,y)=\begin{cases}\frac12,(x,y)\in D\\0,(x,y)\notin D\end{cases}\\ &求谁不积谁，不积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限\\ &f_X(x)=\begin{cases}\int_0^{\frac1x}\frac12dy,1\leq x\leq e^2\\0,其他\end{cases}=\begin{cases}\frac{1}{2x},1\leq x\leq e^2\\0,其他\end{cases}\\ &\implies f_X(e)=\frac1{2e}\\ [例3]&\color{maroon}(X,Y)\sim f(x,y)=\begin{cases}x,0< x< 1,0< y< x\\0,其他\end{cases}，求Z=X-Y的f_{Z}(z)\\ &(X,Y)\sim f(x,y),Z=g(x,y)\implies f_Z(z)\\ &1.F_Z(z)=P\{Z\leq z\}=P\{g(X,Y)\leq z\}=\iint_{g(x,y)\leq z}f(x,y)d\sigma\\ &2.f_Z(z)=F_Z'(z)\\ &1.F_Z(z)=P\{Z\leq z\}=P\{X-Y\leq z\}\\ &(1)z<0 \implies F_Z(z)=0\\ &(2)z\geq1\implies F_Z(z)=1\\ &(3)0\leq z<1\implies F_Z(z)=\iint_Df(x,y)d\sigma=\int_0^zdx\int_0^x3xdy+\int_z^1dx\int_{x-z}^x3xdy=\frac32z-\frac12z^3\\ &\implies f_Z(z)=\begin{cases}\frac32-\frac32z^2,0\leq z<1\\0,其他\end{cases}\\ [例4]&\color{maroon}X,Y相互独立，P\{X=0\}=P\{X=1\}=\frac12,P\{Y\leq x\}=x,0< y\leq1,求Z=XY的分布函数\\ &X\sim P_i,Y\sim f_Y(y)=\begin{cases}1,0< y <1\\0,其他\end{cases}\\ &(1)选X;(2)作XY\\ &F_Z(z)=P\{Z\leq z\}=P\{XY\leq z\}=P(X=0)P(XY\leq z\mid X=0)+P(X=1)P(XY\leq z\mid X=1)\\ &\frac12[P(0\leq z)+P(Y\leq z)]=\frac12\\ &F_Z(z)=\begin{cases}z<0 \implies F_Z(z)=0\\z\geq1\implies F_Z(z)=1\\0\leq z<1\implies F_Z(z)=\frac12(1+z)\end{cases}\\ \end{aligned}

数字特征

概念

数学期望与方差

1.期望定义(1)EX{X∼Pi  ⟹  EX=∑ixiPiX∼f(x)  ⟹  EX=∫−∞+∞f(x)dx(2)X∼pi,Y=g(X)  ⟹  EY=∑ig(xi)pi(3)X∼f(x),Y=g(X)  ⟹  EY=∫−∞+∞g(x)f(x)dx(4)(X,Y)∼pij,Z=g(X,Y)  ⟹  EZ=∑i∑jg(xi,yi)pij(5)(X,Y)∼f(x,y),Z=g(X,Y)  ⟹  EZ=∫−∞+∞∫−∞+∞g(x,y)f(x,y)dxdy2.方差定义DX=E[(X−EX)2](1)定义法：{X∼pi  ⟹  DX=E[(X−EX)2]=∑i(xi−EX)2piX∼f(x)  ⟹  DX=E[(X−EX)2]=∫−∞+∞(x−EX)2f(x)dx(2)公式法:DX=E[(X−EX)2]=E[X2−2⋅X⋅EX+(EX)2]=E(X2)−2⋅EX⋅EX+(EX)2]DX=E(X2)−(EX)23.性质(1)Ea=a,E(EX)=EX(2)E(aX+bY)=aEX+bEY,E(∑i=1naiXi)=∑i=1naiEXi(无条件)(3)若X,Y相互独立，则E(XY)=EXEY(4)Da=0,D(EX)=0,D(DX)=0(5)若X,Y相互独立，则D(X±Y)=DX+DY(6)D(aX+b)=a2DX,E(aX+b)=aEX+b(7)一般,D(X±Y)=DX+DY±2Cov(X,Y)D(∑i=1nXi)=∑i=1nDXi+2∑1≤i<j≤nCov(xi,xj)[注]1.0−1分布，EX=p,DX=p−p2=(1−p)p,X∼(10p1−p)2.X∼B(n,p),EX=np,DX=np(1−p)3.X∼P(λ),EX=λ,DX=λ4.X∼Ge(p),EX=1p,DX=1−pp25.X∼U[a,b],EX=a+b2,DX=(b−a)2126.X∼EX(λ),EX=1λ,DX=1λ27.X∼N(μ,σ2),EX=μ,DX=σ28.X∼χ2(n),EX=n,DX=2n \begin{aligned} 1.&期望定义\\ (1)&EX\begin{cases}X\sim P_i\implies EX=\sum_ix_iP_i\\X\sim f(x)\implies EX=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx\end{cases}\\ (2)&X\sim p_i,Y=g(X)\implies EY=\sum_ig(x_i)p_i\\ (3)&X\sim f(x),Y=g(X)\implies EY=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx\\ (4)&(X,Y)\sim p_{ij},Z=g(X,Y)\implies EZ=\sum_i\sum_jg(x_i,y_i)p_{ij}\\ (5)&(X,Y)\sim f(x,y),Z=g(X,Y)\implies EZ=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy\\ 2.&方差定义\\ &DX=E[(X-EX)^2]\\ (1)&定义法：\begin{cases}X\sim p_i\implies DX=E[(X-EX)^2]=\sum_i(x_i-EX)^2p_i\\X\sim f(x)\implies DX=E[(X-EX)^2]=\int_{-\infty}^{+\infty}(x-EX)^2f(x)dx\end{cases}\\ (2)&公式法:DX=E[(X-EX)^2]=E[X^2-2\cdot X\cdot EX+(EX)^2]=E(X^2)-2\cdot EX\cdot EX+(EX)^2]\\ &DX=E(X^2)-(EX)^2\\ 3.&性质\\ (1)&Ea=a,E(EX)=EX\\ (2)&E(aX+bY)=aEX+bEY,E(\sum_{i=1}^na_iX_i)=\sum_{i=1}^na_iEX_i(无条件)\\ (3)&若X,Y相互独立，则E(XY)=EXEY\\ (4)&Da=0,D(EX)=0,D(DX)=0\\ (5)&若X,Y相互独立，则D(X\pm Y)=DX+DY\\ (6)&D(aX+b)=a^2DX,E(aX+b)=aEX+b\\ (7)&一般,D(X\pm Y)=DX+DY\pm 2Cov(X,Y)\\ &D(\sum_{i=1}^nX_i)=\sum_{i=1}^nDX_i+2\sum_{1\leq i< j\leq n}Cov(x_i,x_j)\\ [注]&1.0-1分布，EX=p,DX=p-p^2=(1-p)p,X\sim\begin{pmatrix}1&0\\p&1-p\end{pmatrix}\\ &2.X\sim B(n,p),EX=np,DX=np(1-p)\\ &3.X\sim P(\lambda),EX=\lambda,DX=\lambda\\ &4.X\sim Ge(p),EX=\frac1p,DX=\frac{1-p}{p^2}\\ &5.X\sim U[a,b],EX=\frac{a+b}2,DX=\frac{(b-a)^2}{12}\\ &6.X\sim E_X(\lambda),EX=\frac1{\lambda},DX=\frac1{\lambda^2}\\ &7.X\sim N(\mu,\sigma^2),EX=\mu,DX=\sigma^2\\ &8.X\sim \chi^2(n),EX=n,DX=2n\\ \end{aligned}

协方差与相关系数

Cov(X,Y)=E[X−EX)(Y−EY)],Cov(X,X)=E[(X−EX)(X−EX)]=E[(X−EX)2]=DX1.定义法{(X,Y)∼pij  ⟹  Cov(X,Y)=∑i∑j(xi−EX)(ui−EY)pij(X,Y)∼f(x,y)  ⟹  Cov(X,Y)=∫−∞+∞∫−∞+∞(x−EX)(y−EY)f(x,y)dxdy2.公式法Cov(X,Y)=E(XY−X⋅EY−EX⋅Y+EX⋅EY)=E(XY)−EX⋅EY−EX⋅EY+EX⋅EY=E(XY)−EXEY3.ρXY=Cov(X,Y)DXDY{=0  ⟺  X,Y不相关̸=0  ⟺  X,Y相关性质1.Cov(X,Y)=Cov(Y,X)2.Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)3.Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)4.∣ρXY∣≤15.ρXY=1  ⟺  P{Y=aX+b}=1(a>0),ρXY=−1  ⟺  P{Y=aX+b}=1(a<0)考试时：Y=aX+b,a>0  ⟹  ρXY=1,Y=aX+b,a<0  ⟹  ρXY=−1小结五个充要条件ρXY=0  ⟺  {Cov(X,Y)=0E(XY)=EX⋅EYD(X+Y)=DX+DYD(X−Y)=DX+DYX,Y独立  ⟹  ρXY=0若(X,Y)∼N(μ,σ2),则X,Y独立  ⟺  X,Y不相关(ρXY=0) \begin{aligned} &Cov(X,Y)=E[X-EX)(Y-EY)],Cov(X,X)=E[(X-EX)(X-EX)]=E[(X-EX)^2]=DX\\ &1.定义法\\ &\begin{cases}(X,Y)\sim p_{ij}\implies Cov(X,Y)=\sum_i\sum_j(x_i-EX)(u_i-EY)p_{ij}\\(X,Y)\sim f(x,y)\implies Cov(X,Y)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(x-EX)(y-EY)f(x,y)dxdy\end{cases}\\ &2.公式法\\ &Cov(X,Y)=E(XY-X\cdot EY-EX\cdot Y+EX\cdot EY)\\ &=E(XY)-EX\cdot EY-EX\cdot EY+EX\cdot EY=E(XY)-EXEY\\ &3.\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}\begin{cases}=0\iff X,Y不相关\\\not=0\iff X,Y相关\end{cases}\\ 性质&1.Cov(X,Y)=Cov(Y,X)\\ &2.Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)\\ &3.Cov(X_1+X_2,Y)=Cov(X_1,Y)+Cov(X_2,Y)\\ &4.\mid \rho_{XY}\mid\leq1\\ &5.\rho_{XY}=1\iff P\{Y=aX+b\}=1(a>0),\rho_{XY}=-1\iff P\{Y=aX+b\}=1(a<0)\\ &考试时：Y=aX+b,a>0\implies \rho_{XY}=1,Y=aX+b,a<0\implies \rho_{XY}=-1\\ 小结&五个充要条件\\ &\rho_{XY}=0\iff\begin{cases}Cov(X,Y)=0\\E(XY)=EX\cdot EY\\D(X+Y)=DX+DY\\D(X-Y)=DX+DY\end{cases}\\ &X,Y独立\implies \rho_{XY}=0\\ &若(X,Y)\sim N(\mu,\sigma^2),则X,Y独立\iff X,Y不相关(\rho_{XY}=0)\\ \end{aligned}

例题

 [例1]设x1,x2,x3相互独立∼P(λ),令Y=13(x1+x2+x3),则EY2=‾E(x1,x2,x3)=3λD(x1,x2,x3)=3λEY=E(13(x1,x2,x3))=133λ=λDY=D(13(x1,x2,x3))=193λ=λEY2=(EY)2+DY=λ2+λ3[例2]X∼f(x)={38x2,0<x<20,其他,则E(1x2)=‾E(1x2)=∫−∞+∞1x2f(x)dx=∫021x238x2dx=34[例3]X∼B(1,12),Y∼B(1,12),D(X+Y)=1,则ρXY=‾ρXY=Cov(X,Y)DXDY1=D(X+Y)+DX+DY+2Cov(X,Y)  ⟹  Cov(X,Y)=14ρXY=1412⋅12=1[例4](X,Y)∼f(x,y)={1,0≤∣y∣≤x≤10,其他,则Cov(X,Y)=‾Cov(X,Y)=EXY−EXEY其中EXY=∬Dx⋅yf(x,y)dxdy=0EY=E⋅1⋅Y=∫−∞+∞∫−∞+∞x0y1f(x,y)dxdy=∫−∞+∞∫−∞+∞yf(x,y)dσ=∬Dy⋅1dσ=0Cov(X,Y)=EXY−EXEY=0 \begin{aligned} \ [例1]&\color{maroon}设x_1,x_2,x_3相互独立\sim P(\lambda),令Y=\frac13(x_1+x_2+x_3),则EY^2=\underline{\quad}\\ &E(x_1,x_2,x_3)=3\lambda\quad D(x_1,x_2,x_3)=3\lambda\\ &EY=E(\frac13(x_1,x_2,x_3))=\frac133\lambda=\lambda\\ &DY=D(\frac13(x_1,x_2,x_3))=\frac193\lambda=\lambda\\ &EY^2=(EY)^2+DY=\lambda^2+\frac{\lambda}3\\ [例2]&\color{maroon}X\sim f(x)=\begin{cases}\frac38x^2,0< x< 2\\0,其他\end{cases},则E(\frac1{x^2})=\underline{\quad}\\ &E(\frac1{x^2})=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac1{x^2}f(x)dx=\int_0^2\frac1{x^2}\frac38x^2dx=\frac34\\ [例3]&\color{maroon}X\sim B(1,\frac12),Y\sim B(1,\frac12),D(X+Y)=1,则\rho_{XY}=\underline{\quad}\\ &\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}\\ &1=D(X+Y)+DX+DY+2Cov(X,Y)\implies Cov(X,Y)=\frac14\\ &\rho_{XY}=\frac{\frac14}{\frac12\cdot\frac12}=1\\ [例4]&\color{maroon}(X,Y)\sim f(x,y)=\begin{cases}1,0\leq \mid y\mid\leq x\leq1\\0,其他\end{cases},则Cov(X,Y)=\underline{\quad}\\ &Cov(X,Y)=EXY-EXEY\\ &其中EXY=\iint_Dx\cdot yf(x,y)dxdy=0\\ &EY=E\cdot1\cdot Y=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}x^0y^1f(x,y)dxdy=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}yf(x,y)d\sigma=\iint_Dy\cdot1d\sigma=0\\ &Cov(X,Y)=EXY-EXEY=0 \end{aligned}

大数定律与中心极限定理

依概率收敛

设{Xn}为一r,v序列，X为一r,v(或a为常数)若∀ε>0,恒有lim⁡n→∞P{∣Xn−X∣<ε}=1或lim⁡n→∞P{∣Xn−a∣<ε}=1,则称{Xn}依概率收敛于X或a记：Xn→X或Xa→a[例1]设{Xn},Xn∼fn(x)=nπ(1+n2x2),x∈R,证Xn→0P{−ε<Xn<ε}=∫−εεnπ(1+n2x2)dx=1πarctan⁡x∣−εε=2πarctan⁡nεlim⁡n→∞2πarctan⁡nε=1 \begin{aligned} &设\{X_n\}为一r,v序列，X为一r,v(或a为常数)\\ &若\forall \varepsilon>0,恒有\lim_{n\to\infty}P\{\mid X_n-X\mid<\varepsilon\}=1或\lim_{n\to\infty}P\{\mid X_n-a\mid<\varepsilon\}=1,则称\{X_n\}依概率收敛于X或a\\ &记：X_n\to X 或 X_a\to a\\ [例1]&\color{maroon}设\{X_n\},X_n\sim f_n(x)=\frac{n}{\pi(1+n^2x^2)},x\in R,证X_n\to0\\ &P\{-\varepsilon<X_n<\varepsilon\}=\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\frac{n}{\pi(1+n^2x^2)}dx=\frac1{\pi}\arctan x\mid^{\varepsilon}_{-\varepsilon}=\frac{2}{\pi}\arctan n\varepsilon\\ &\lim_{n\to\infty}\frac2{\pi}\arctan n\varepsilon=1\\ \end{aligned}

三个定律与两个定理

大数定律

1.切比雪夫大数定律设{Xn}(n=1,2,⋯ )0是相互独立的随机变量序列，若方差DXk存在且一致有上界，则1n∑i=1nXi→1n∑i=1nEXi=E(1n∑i=1nXi)一致有上界皆有共同的上界，与k无关2.伯努利大数定律设un是n重伯努利试验中事件A发生的次数，在每次试验中A发生的概率为p(0<p<1),则unn→p3.辛钦大数定律设{Xn}是独立同分布的随机变量序列，若EXn=μ存在，则1n∑i=1nXi→μ[注]在满足一定条件的基础上，所有大数定律都在讲一个结论1n∑i=1nXi→E(1n∑i=1nXi) \begin{aligned} 1.&切比雪夫大数定律\\ &设\{X_n\}(n=1,2,\cdots)0是相互独立的随机变量序列，若方差DX_k存在且一致有上界，则\\ &\frac1n\sum_{i=1}^nX_i\to\frac1n\sum_{i=1}^nEX_i=E(\frac1n\sum_{i=1}^nX_i)\\ &一致有上界皆有共同的上界，与k无关\\ 2.&伯努利大数定律\\ &设u_n是n重伯努利试验中事件A发生的次数，在每次试验中A发生的概率为p(0<p < 1),则\frac{u_n}n\to p\\ 3.&辛钦大数定律\\ &设\{X_n\}是独立同分布的随机变量序列，若EX_n=\mu存在，则\frac1n\sum_{i=1}^nX_i\to\mu\\ [注]&在满足一定条件的基础上，所有大数定律都在讲一个结论 \frac1n\sum_{i=1}^nX_i\to E(\frac1n\sum_{i=1}^nX_i)\\ \end{aligned}

中心极限定理

不论Xi∼iidF(μ,σ2),μ=EXi,σ2=DXi  ⟹  ∑i=1nXi∼n→∞N(nμ,nσ2)  ⟹  ∑i=1nXi−nμnσ∼n→∞N(0,1),即lim⁡n→∞P{∑i=1nXi−nμnσ≤x}=Φ(x)[例1]假设X1,X2,⋯ ,Xn∼iidP(λ),则lim⁡n→∞P{∑i=1nXi−nλnλ≤x}=‾{E(∑i=1nXi)=nλD(∑i=1nXi)=nλlim⁡n→∞P{∑i=1nXi−nλnλ≤x}=Φ(x) \begin{aligned} &不论X_i\sim^{iid}F(\mu,\sigma^2),\mu=EX_i,\sigma^2=DX_i\implies \sum_{i=1}^n X_i\sim^{n\to\infty}N(n\mu,n\sigma^2)\\ &\implies \frac{\sum_{i=1}^n X_i-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\sim^{n\to\infty}N(0,1),即\lim_{n\to\infty}P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\leq x\right\} =\Phi(x)\\ [例1]&\color{maroon}假设X_1,X_2,\cdots,X_n\sim^{iid}P(\lambda),则\lim_{n\to\infty}P\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n\lambda}{\sqrt{n\lambda}}\leq x\}=\underline{\quad}\\ &\begin{cases}E(\sum_{i=1}^n X_i)=n\lambda\\D(\sum_{i=1}^n X_i)=n\lambda\end{cases}\\ &\lim_{n\to\infty}P\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n\lambda}{\sqrt{n\lambda}}\leq x\}=\Phi(x)\\ \end{aligned}

数理统计初步

总体与样本

1.总体X∼F(x)2.样本Xi∼iidF(x) \begin{aligned} 1.&总体\quad X\sim F(x)\\ 2.&样本\quad X_i\sim^{iid}F(x)\\ \end{aligned}

点估计

1.矩估计(1)X‾=1n∑i=1nXi(样本估计)(2)EX(客观存在的均值)(3)EX=X‾(强行令其相等)2.最大似然估计参数=？时，观测值出现的概率最大(1)写L(θ)={∏i=1np(xi,θ)∏r=1nf(xi,θ)(2){令dL(θ)dθ=0  ⟹  θ^dln⁡L(θ)dθ=0  ⟹  θ^L(θ)关于θ单调  ⟹  定义 \begin{aligned} 1.&矩估计\\ (1)&\overline{X}=\frac1n\sum_{i=1}^n X_i(样本估计)\\ (2)&EX(客观存在的均值)\\ (3)&EX=\overline{X}(强行令其相等)\\ 2.&最大似然估计\\ &参数=？时，观测值出现的概率最大\\ (1)&写L(\theta)=\begin{cases}\prod_{i=1}^np(x_i,\theta)\\\prod_{r=1}^nf(x_i,\theta)\end{cases}\\ (2)&\begin{cases}令\frac{dL(\theta)}{d\theta}=0\implies\hat{\theta}\\\frac{d\ln L(\theta)}{d\theta}=0\implies \hat{\theta}\\L(\theta)关于\theta单调\implies 定义\end{cases} \end{aligned}

 [例1]X∼(0123θ22θ(1−θ)θ21−2θ),0<θ<12,从X中抽:3,1,3,0,3,1,2,3.求θ得矩估计值与最大似然估计值(1)1.x‾=18(3+1+3+0+3+1+2+3)=22.EX=0⋅θ2+1⋅2θ(1−θ)+2θ2+3(1−2θ)=3−4θ3.令3−4θ=2  ⟹  θ^=14(2)L(θ)=(1−2θ)4[2θ(1−θ)]2θ2θ2=4θ6(1−θ)2(1−2θ)4  ⟹  ln⁡L(θ)=ln⁡4+6ln⁡θ+2ln⁡(1−θ)+4ln⁡(1−2θ)  ⟹  dln⁡L(θ)dθ=6θ+−21−θ+4(−2)1−2θ=0θ=7±1312  ⟹  θ^=7−1312[例2]X∼F(x,α,β)={1−(αx)β,α≤x0,α>x,α≥1,β>1,X1,X2,⋯ ,Xn∼iidX,求(1)α=1,β的矩估计量(2)α=1,β的最大似然估计量(3)β=2,α的最大似然估计量(1)α=1  ⟹  X∼F(x,β)={1−1xβ,x≥10,x<1x∼f(x,β)={βxβ+1,x≥10,x<1X‾=1n∑i=1nXiEX=∫1+∞x⋅βxβ+1dx=ββ−1X‾=ββ−1  ⟹  β^=x‾x‾−1(2)L(β)={βn(x1,x2,⋯ ,xn)β+1,xi≥10,其他  ⟹  ln⁡L(β)=nln⁡β−(β+1)∑i=1nln⁡xi  ⟹  dln⁡L(β)dβ=nβ−∑i=1nln⁡xi=0  ⟹  β^=n∑i=1nln⁡xi(3)β=2,X∼F(x,α)={1−α2x2,α≤x0,α>x  ⟹  x∼f(x,α)={2α2x3,α≤x0,α>xL(α)={2n⋅α2n(x1x2⋯xn)3,xi≥α0,其他  ⟹  一切xi≥α  ⟹  ln⁡L(α)=nln⁡2+2nln⁡α−3∑i=1nln⁡xi  ⟹  αln⁡2(α)dα=2nα>0  ⟹  L(α)关于αα^=min{x1,x2,⋯ ,xn} \begin{aligned} \ [例1]&\color{maroon}X\sim\begin{pmatrix}0&1&2&3\\\theta^2&2\theta(1-\theta)&\theta^2&1-2\theta\end{pmatrix},0<\theta<\frac12,从X中抽:3,1,3,0,3,1,2,3.\\ &\color{maroon}求\theta得矩估计值与最大似然估计值\\ (1)&1.\overline{x}=\frac18(3+1+3+0+3+1+2+3)=2\\ &2.EX=0\cdot\theta^2+1\cdot2\theta(1-\theta)+2\theta^2+3(1-2\theta)=3-4\theta\\ &3.令3-4\theta=2\implies \hat{\theta}=\frac14\\ (2)&L(\theta)=(1-2\theta)^4[2\theta(1-\theta)]^2\theta^2\theta^2=4\theta^6(1-\theta)^2(1-2\theta)^4\\ &\implies \ln L(\theta)=\ln4+6\ln \theta+2\ln(1-\theta)+4\ln(1-2\theta)\\ &\implies \frac{d\ln L(\theta)}{d\theta}=\frac6\theta+\frac{-2}{1-\theta}+\frac{4(-2)}{1-2\theta}=0\\ &\theta=\frac{7\pm\sqrt{13}}{12}\implies\hat{\theta}=\frac{7-\sqrt{13}}{12}\\ [例2]&\color{maroon}X\sim F(x,\alpha,\beta)=\begin{cases}1-(\frac{\alpha}{x})\beta,\alpha\leq x\\0,\alpha>x\end{cases},\alpha\geq1,\beta>1,X_1,X_2,\cdots,X_n\sim^{iid}X,求\\ &\color{maroon}(1)\alpha=1,\beta的矩估计量\\ &\color{maroon}(2)\alpha=1,\beta的最大似然估计量\\ &\color{maroon}(3)\beta=2,\alpha的最大似然估计量\\ &(1)\alpha=1\implies X\sim F(x,\beta)=\begin{cases}1-\frac1{x^{\beta}},x\geq1\\0,x<1\end{cases}\\ &x\sim f(x,\beta)=\begin{cases}\frac{\beta}{x^{\beta+1}},x\geq1\\0,x<1\end{cases}\\ &\overline{X}=\frac1n\sum_{i=1}^nX_i\\ &EX=\int_1^{+\infty}x\cdot\frac{\beta}{x^{\beta+1}}dx=\frac{\beta}{\beta-1}\\ &\overline{X}=\frac{\beta}{\beta-1}\implies \hat{\beta}=\frac{\overline{x}}{\overline{x}-1}\\ &(2)L(\beta)=\begin{cases}\frac{\beta^n}{(x_1,x_2,\cdots,x_n)^{\beta+1}},x_i\geq1\\0,其他\end{cases}\\ &\implies \ln L(\beta)=n\ln\beta-(\beta+1)\sum_{i=1}^n\ln x_i\\ &\implies \frac{d\ln L(\beta)}{d\beta}=\frac{n}{\beta}-\sum_{i=1}^n\ln x_i=0\implies \hat{\beta}=\frac{n}{\sum_{i=1}^n\ln x_i}\\ &(3)\beta=2,X\sim F(x,\alpha)=\begin{cases}1-\frac{\alpha^2}{x^2},\alpha\leq x\\0,\alpha>x\end{cases}\\ &\implies x\sim f(x,\alpha)=\begin{cases}\frac{2\alpha^2}{x^3},\alpha\leq x\\0,\alpha>x\end{cases}\\ &L(\alpha)=\begin{cases}\frac{2^n\cdot\alpha^{2n}}{(x_1x_2\cdots x_n)^3},x_i\geq\alpha\\0,其他\end{cases}\\ &\implies 一切x_i\geq\alpha\implies \ln L(\alpha)=n\ln2+2n\ln\alpha-3\sum_{i=1}^n\ln x_i\implies \frac{\alpha\ln2(\alpha)}{d\alpha}=\frac{2n}{\alpha}>0\\ &\implies L(\alpha)关于\alpha\\ &\hat{\alpha}=min\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\\ \end{aligned}

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