Author：AXYZdong
自动化专业 工科男
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前言

连续系统s域分析相关内容

一、线性性质

若 :
$\mathcal{L}[f_1(t)]=F_1(s) , Re[s]>\sigma_1$L[f1​(t)]=F1​(s),Re[s]>σ1​

$\mathcal{L}[f_2(t)]=F_2(s) , Re[s]>\sigma_2$L[f2​(t)]=F2​(s),Re[s]>σ2​

则：$\mathcal{L}[a_1f_1(t)+a_2f_2(t)]=a_1F_1(t)+a_2F_2(t),Re[s]>max(\sigma_1,\sigma_2)$L[a1​f1​(t)+a2​f2​(t)]=a1​F1​(t)+a2​F2​(t),Re[s]>max(σ1​,σ2​)

例：$\mathcal{L}[\delta(t)+\epsilon(t)]=1+1/s,\sigma>0$L[δ(t)+ϵ(t)]=1+1/s,σ>0

二、尺度变换

若 :
$\mathcal{L}[f(t)]=F (s) , Re[s]>\sigma_0,且有实数 a>0$L[f(t)]=F(s),Re[s]>σ0​,且有实数a>0

则：
$\mathcal{L}[f(at)]=\frac{1}{a}F(\frac{s}{a}),Re[s]>a\sigma_0$L[f(at)]=a1​F(as​),Re[s]>aσ0​

三、时移特性

若 :
$\mathcal{L}[f(t)]=F (s) , Re[s]>\sigma_0,且有实常数 t_0>0$L[f(t)]=F(s),Re[s]>σ0​,且有实常数t0​>0

则：
$\mathcal{L}[f(t-t_0)\epsilon(t-t_0)]=e^{-st_0}F(s),Re[s]>\sigma_0$L[f(t−t0​)ϵ(t−t0​)]=e−st0​F(s),Re[s]>σ0​
例： $\mathcal{L}[f(at-t_0)\epsilon(at-t_0)]=?$L[f(at−t0​)ϵ(at−t0​)]=?

先时移，再尺度变换，可得：$\mathcal{L}[f(at-t_0)\epsilon(at-t_0)]=\frac{1}{a}e^{-\frac{s}{a}t_0}F(\frac{s}{a})$L[f(at−t0​)ϵ(at−t0​)]=a1​e−as​t0​F(as​)

四、复频移特性

若 :
$\mathcal{L}[f(t)]=F (s) , Re[s]>\sigma_0,且有复常数 s_a=\sigma_a+j\omega_a$L[f(t)]=F(s),Re[s]>σ0​,且有复常数sa​=σa​+jωa​

则：
$\mathcal{L}[f(t)e^{s_a t}] =F(s-s_a),Re[s]>\sigma_0+\sigma_a$L[f(t)esa​t]=F(s−sa​),Re[s]>σ0​+σa​

例：因果信号 $f(t)$f(t) 的象函数 $F(s)=\frac{s}{s^2+1}$F(s)=s2+1s​

问：$\mathcal{L}[e^{-t}f(3t-2)]=?$L[e−tf(3t−2)]=?

先时移，再尺度变换，最后复频移
$\mathcal{L}[f(t)]=\frac{s}{s^2+1}\implies\mathcal{L}[f(t-2)]=\frac{s}{s^2+1}\cdot e^{-2s}$L[f(t)]=s2+1s​⟹L[f(t−2)]=s2+1s​⋅e−2s
$\mathcal{L}[f(3t-2)]=\frac{1}{3}\cdot\frac{s/3}{(s/3)^2+1}\cdot e^{-2(s/3)}=\frac{s }{s ^2+9}\cdot e^{-\frac{2s}{3}}$L[f(3t−2)]=31​⋅(s/3)2+1s/3​⋅e−2(s/3)=s2+9s​⋅e−32s​
$\mathcal{L}[e^{-t}f(3t-2)]==\frac{s+1 }{(s+1) ^2+9}\cdot e^{-\frac{2(s+1)}{3}}$L[e−tf(3t−2)]==(s+1)2+9s+1​⋅e−32(s+1)​

五、时域的微分特性

若 :
$\mathcal{L}[f(t)]=F (s) , Re[s]>\sigma_0$L[f(t)]=F(s),Re[s]>σ0​

则：$\mathcal{L}[f'(t)]=sF(s)-f(0_{-})$L[f′(t)]=sF(s)−f(0−​)
$\mathcal{L}[f''(t)]=s^2F(s)-sf(0_{-})-f(0_{-})$L[f′′(t)]=s2F(s)−sf(0−​)−f(0−​)
$\mathcal{L}[f^{(n)}(t)]=s^nF(s)-\Sigma_{m=0}^{n-1}s^{n-1-m}f^{(m)}(0_{-})$L[f(n)(t)]=snF(s)−Σm=0n−1​sn−1−mf(m)(0−​)

若： $f(t)$f(t) 为因果信号，则 $\mathcal{L}[f^{(n)}(t)]=s^nF(s)$L[f(n)(t)]=snF(s)

因果信号时间轴从零开始，$f(0_{-})=0$f(0−​)=0

例：（1）$\mathcal{L}[\delta^{(n)}(t)]=?$L[δ(n)(t)]=? （2）$\mathcal{L}[\frac{d}{dt}[\epsilon(t)\cos2t]]=?$L[dtd​[ϵ(t)cos2t]]=? （3）$\mathcal{L}[\frac{d}{dt}[ \cos2t]]=?$L[dtd​[cos2t]]=?

（1）$\mathcal{L}[\delta^{(n)}(t)]=s^n$L[δ(n)(t)]=sn
（2）$\epsilon(t)\cos2t$ϵ(t)cos2t 含有 $\epsilon(t)$ϵ(t) ，为因果信号，利用公式，可得：$\mathcal{L}[\frac{d}{dt}[\epsilon(t)\cos2t]]=s\cdot\frac{s}{s^2+4}，(\mathcal{L}[\cos2t]=\frac{s}{s^2+4})$L[dtd​[ϵ(t)cos2t]]=s⋅s2+4s​，(L[cos2t]=s2+4s​)
（3）$\cos2t$cos2t 非因果信号，利用公式，可得：$\mathcal{L}[\frac{d}{dt}[ \cos2t]]=sF(s)-f(0{-})=s\cdot\frac{s}{s^2+4}-1，\lbrace F(s)=\mathcal{L}[\cos2t]=\frac{s}{s^2+4}\rbrace$L[dtd​[cos2t]]=sF(s)−f(0−)=s⋅s2+4s​−1，{F(s)=L[cos2t]=s2+4s​}

六、时域的积分特性

若 :
$\mathcal{L}[f(t)]=F (s) , Re[s]>\sigma_0$L[f(t)]=F(s),Re[s]>σ0​

则：
$\mathcal{L}[\int _{0}^{t}f(\tau)d\tau]=\frac{F (s)}{s}+\frac{f^{(-1)}(0_{-})}{s}$L[∫0t​f(τ)dτ]=sF(s)​+sf(−1)(0−​)​

例：$\mathcal{L}[t^2\epsilon(t)]=?$L[t2ϵ(t)]=?

（1）$\mathcal{L}[t\epsilon(t)]= \mathcal{L}[\int _{0}^{t}\epsilon(\tau)d\tau]=\frac{1}{s}\cdot \frac{1}{s}=\frac{1}{s^2}，(\mathcal{L[\epsilon(t)]=\frac{1}{s}})$L[tϵ(t)]=L[∫0t​ϵ(τ)dτ]=s1​⋅s1​=s21​，(L[ϵ(t)]=s1​)
（2）$\mathcal{L}[t^2\epsilon(t)]= 2\mathcal{L}[\int _{0}^{t}\tau \epsilon(\tau)d\tau]=2\cdot\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s^2}=\frac{2}{s^3}$L[t2ϵ(t)]=2L[∫0t​τϵ(τ)dτ]=2⋅s1​⋅s21​=s32​

七、卷积定理

时域：若因果函数

$\mathcal{L}[f_1(t)]=F_1(s),Re[s]>\sigma_1$L[f1​(t)]=F1​(s),Re[s]>σ1​

$\mathcal{L}[f_2(t)]=F_2(s),Re[s]>\sigma_2$L[f2​(t)]=F2​(s),Re[s]>σ2​

则：$\mathcal{L}[f_1(t)*f_2(t)]=F_1(s)F_2(s)$L[f1​(t)∗f2​(t)]=F1​(s)F2​(s)

s域卷积定理：
$\mathcal{L}[f_1(t)\cdot f_2(t)]=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}F_1(\eta)F_2(s-\eta)d\eta$L[f1​(t)⋅f2​(t)]=2πj1​∫σ−j∞σ+j∞​F1​(η)F2​(s−η)dη

八、s域的微分与积分

若 :
$\mathcal{L}[f(t)]=F (s) , Re[s]>\sigma_0$L[f(t)]=F(s),Re[s]>σ0​

则：
$\mathcal{L}[(-t)f(t)]=\frac{dF(s)}{ds}，\mathcal{L}[(-t)^nf(t)]=\frac{d^nF(s)}{ds^n}$L[(−t)f(t)]=dsdF(s)​，L[(−t)nf(t)]=dsndnF(s)​
$\mathcal{L}[\frac{f(t)}{t}]=\int_{s}^{\infty}F(\eta)d\eta$L[tf(t)​]=∫s∞​F(η)dη

例：$\mathcal{L}[t^2e^{-2t}\epsilon(t)]=?$L[t2e−2tϵ(t)]=?

$\mathcal{L}[ e^{-2t}\epsilon(t)]=\frac{1}{s+2}\implies \mathcal{L}[t^2 e^{-2t}\epsilon(t)]=\frac{d^2}{ds^2}(\frac{1}{s+2})=\frac{2}{(s+2)^3}$L[e−2tϵ(t)]=s+21​⟹L[t2e−2tϵ(t)]=ds2d2​(s+21​)=(s+2)32​

九、初值定理和中值定理

初值： $f(0_{+})=\lim_{t\to 0_{}+}f(t)=\lim_{s\to \infty}sF(s)$f(0+​)=t→0​+lim​f(t)=s→∞lim​sF(s)
终值：若 $f(t)$f(t) 当 $t\to \infty$t→∞ 时存在 ，且 $\mathcal{L}[f(t)]=F (s),Re[s]>\sigma_0,\sigma_0<0$L[f(t)]=F(s),Re[s]>σ0​,σ0​<0
则：$f(\infty)=\lim_{s\to 0}sF(s)$f(∞)=s→0lim​sF(s)

总结：

拉普拉斯变换的性质 和 傅里叶变换的性质 注意区别

性质很重要！！！性质很重要！！！性质很重要！！！

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