一、信号的分类

1.1 确定信号和不确定信号

这个概念其实很好理解：如果每一次发出的信号 $x$ ，它某一时刻的幅值每次都是固定的，那么这个信号就是确定信号。

1.2 离散时间信号和连续时间信号

我们以后的课程约定： $x(t)$ 代表连续时间信号，用 $t$ 代表连续时间，圆括号括起来。注意：连续时间信号的自变量是连续的，幅值也是连续的。
$x[n]$ 代表离散时间信号，用 $n$ 代表离散时间（只能是整数！），方括号括起来。注意：离散时间信号的自变量是离散的，但是幅值是连续的。

1.3 周期信号和非周期信号

总所周知，对于连续时间信号 $y = sin(t)$ 显然是一个周期信号。但是离散时间下， $y[n] = sin(n)$ 还是不是周期信号呢?

答案是：不一定了！
下面通过一个例子说明：我们下面的第一幅图是 $t$ 从 [-10, 10] 的连续区间下的 $sin(t)$ ，第二幅图是 $n$ 在 [-10,10] 的区间下以 1秒为间隔的离散正弦信号：

我们发现，按照这样的时间划分， $sin(n)$ 已经不再是周期信号了！

1.4 能量信号和功率信号

先来看看连续时间信号在一段时间 $t_1$ ~ $t_2$ 内的能量： $E = \int_{t_1}^{t_2}|x(t)|^2dt$
那么很自然地，在这段时间内信号的平均功率就是： $P = \frac{1}{t_2-t_1}E = \frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}|x(t)|^2dt$

下面我们再看看离散时间信号在一段时间 $n_1$ ~ $n_2$ 的能量： $E = \sum_{n=n_1}^{n_2}|x[n]|^2$
对应地在这段时间内的平均功率为： $P = \frac{1}{n_2-n_1+1}\sum_{n=n_1}^{n_2}|x[n]|^2$
这里要特别注意：离散时间下 $n_1$ 与 $n_2$ 之间的间隔是 $n_2-n_1+1$ ！！

然而，这门课研究的，是信号的过去、现在和未来，因此，为了一般化，我们将时间取到无穷：
那么，对于连续时间信号而言，能量就可以表示成： $E = \lim_{t\to ∞}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|x(t)|^2dt$
而功率就可以表示成： $P = \lim_{t\to ∞}\frac{1}{2T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|x(t)|^2dt$

对于离散时间信号而言，能量可以表示成： $E =\lim_{N\to ∞}\sum_{n=-N}^{N}|x[n]|^2$
功率可以表示成： $P = \lim_{N\to ∞}\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}|x[n]|^2$
(同样要小心这里的时间间隔 $2N+1$ ）

下面整理给出无限时间内，连续时间信号和离散时间信号分别的能量和功率的表达式：

连续时间信号
$\left \{ \begin{array}{c} E = \lim_{T\to ∞}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|x(t)|^2dt\\ \\ P = \lim_{T\to ∞}\frac{1}{2T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|x(t)|^2dt \end{array} \right.$
离散时间信号
$\left \{ \begin{array}{c} E =\lim_{N\to ∞}\sum_{n=-N}^{N}|x[n]|^2\\ \\ P = \lim_{N\to ∞}\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}|x[n]|^2 \end{array} \right.$