【自控原理专栏】

B 一阶系统的时域响应

由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。

如RC电路：

典型闭环控制一阶系统是一个惯性环节

它只有一个极点，在负轴上。

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在以下的分析和计算中，均假定系统的工作初始条件为0.

B.a 单位阶跃响应

设系统的输入为单位阶跃函数$r(t) = 1(t)$r(t)=1(t) ,其拉氏变换 为$R(s)=\frac{1}{s}$R(s)=s1​,则输出的拉氏变换为 ：

两边取拉氏反变换得到一阶系统单位阶跃响应：

单位阶跃响应曲线：

特点：

• 1 可以用时间常数T去度量系统的输出量的数值；
  可以用实验方法确定 一阶系统的时间常数T，或者测试所研究一阶系统是否属于一阶系统。
  
• 2 响应系统的斜率可以通过对t求导得到：
  系统运动的最大变化率刚好是初始斜率$\frac{1}{T}$T1​。
  

利用单位阶跃响应的初始斜率，分析一阶系统的动态性能指标：

显然，没有峰值，即峰值时间$t_p$tp​和超调量$\sigma$σ都不存在。

时间常数T反应了 系统的响应速度，T越小，输出响应上升越快，响应过程的 快速性也越好。
斜

B.b 单位脉冲响应

设系统的输入为单位脉冲函数r(t) = δ(t),其拉氏变换为 R(s)=1, 则输出响应的拉氏变换为

对上式进行拉氏反变换，求得单 位脉冲响应为 ：

特点：

• 1 可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；
• 2 初始斜率为-1/T2；
• 3 无超调，不存在稳态分量。

B.c 单位斜坡响应

设系统的输入为单位斜坡函数r(t)=t，其拉氏变换为$R(s)=\frac{1}{s^2}$R(s)=s21​, 则输出的拉氏变换为 ：

式子中，$t-T$t−T为稳态分量，$Te^{-\frac{t}{T}}$Te−Tt​为瞬态分量，当$t\rightarrow \infty$t→∞时，瞬态分量指数衰减到零。一阶系统的单位斜坡响应曲线如图所示。

显然，系统的响应从t=0时开始跟踪输入信号而 单调上升，在达到稳态后，它与输入信号同速增长， 但它们之间存在跟随误差。即

可见，当t趋于无穷大时，误差趋近于T，因此 系统在进入稳态以后，在任一时刻，输出量c (t) 将小于输入量r(t)一个T值，时间常数T越小，系统 跟踪斜坡输入信号的稳态误差也越小。

B.d 单位加速度响应

跟踪误差：e(t)=r(t)-c(t)=Tt-T2(1-e- t/T )随时间推移而增长， 直至无穷。因此一阶系统不能跟踪加速度函数。

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结论：

• 一阶系统的典型响应与时间常数T密切相关。只要时间 常数T小，单位阶跃响应调节时间小，单位斜坡响应稳态 值误差也小。但一阶系统不能跟踪加速度函数。

• 线性系统对输入信号导数的响应，等于系统对输入信号 响应的导数。
  
  线性定常系统的输出响应之间具有如下关系：
  前者是后者的导数，后者是前者的积分：
  

• 注意：对于线性时变系统和非线性系统，这一特性并不适用

• 推广来讲：线性定常系统对某种输入信号导数的响应，等于对该输入信号响应的导数；对某种输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应，积分常数由初始条件给出。因此，研究线性定常系统的时间响应，不必对每种输入信号形式进行测定和计算，可以只采用其中一种典型输入信号，如单位阶跃信号。

例题：

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