D 高阶系统的时域响应

若描述系统的微分方程高于二阶，则该系统为高阶系统。控制 工程中，大多数控制系统都是高阶系统。
理论上，高阶系统也可以直接由传递函数求出它的时域响应，然 后按上述二阶系统的分析方法来确定系统的瞬态性能指标。但是， 高阶系统的分布计算比较困难，同时，在工程设计的许多问题中， 过分讲究精确往往是不必要的，甚至是无意义的。因此，工程上通 常把高阶系统适当地简化成低阶系统进行分析。下面简单地介绍高 阶系统时域响应的确定方法及研究高阶系统性能的思路和途径。
设高阶系统的闭环传递函数为 ：

假设系统所有零点、极点互不相同，且极点中q个实数极点和 r对复数极点（q+2r=n），则系统单位阶跃响应的拉氏变换为 ：

将上式展开成部分分式，得 ：

对上式进行拉氏反变换，求得系统在零初始条件下的单位阶跃响应为 ：

结论：

• 1 高阶系统的单位阶跃响应是由稳态值和一些惯性环 节及振荡环节的瞬态响应分量叠加而成的；
• 2 如果系统所有极点都分布在S平面的左半部分，即所 有极点均具有负实部，那么，当t趋于无穷大时，式中的指数 项都趋于零， 而系统的响应达到稳态值；
• 3 ：因此各瞬态分量的系数不仅与相应极点在S平面中的 位置有关，而且还与零点的位置有关。

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若一对零极点的位置十分靠近，会产生什么情况？
会使得该极点对应的系数很小，从而该极点所对应的响应分量 对系统的过渡过程几乎没有影响。 例如：

零点-2.5和极点-2位置十分靠近。
拉氏反变换后，极点-2所对应的响应分量对系统瞬态响应的影响必然不大。

把这种距离很近（相对于其他零极点）的零、极点对，称为偶极子。

D.a 高阶系统的动态性能

高阶系统的动态性能主要由系统传递函数中那些靠近 虚轴而又远离零点的极点来决定。

如果离虚轴最近的极点附近没有零点，且其余的极点都 远离虚轴，则这样的闭环极点所对应的动态分量在系统 的响应过程中起主要作用，称为主导极点，·主导极点对 应的分量衰减最慢`。 远离虚轴的极点为非主导极点。

高阶系统具有振荡性，高阶系统的主导极点常常是共轭复数极点，因此高阶系统可以常用 主导极点构成的二阶系统来近似。相应的性能指标可按二阶系统的各项指标来估计。
在设计高阶系统时，常利用主导极点的概念来选择系 统参数，使系统具有预期的一对共轭复数主导极点，这样，就可以近 似的用二阶系统的性能指标来设计系统。

D.b 极点对系统响应的影响

设某三阶系统闭环传递函数为



通过仿真可以验证，若主导极点的实部小于 第3个根实部的1/10，即

时，该三阶系统的响应可近似为由主导极点 表示的二阶系统(传递函数如下)的响应。

该三阶系统可看作是由主导极点组成的二阶系统和一个惯性环节的串联。

当惯性环节的时间常数较大，即第3个根实部较小时，惯性环节的滤波作用较 大，二阶系统的输出经过滤波后震荡现象减弱。

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D.c 零点对二阶系统的影响

二阶系统传递函数为 ：

在标准二阶系统上增加一个零点，得到新的系统传递函数为 ：

该系统的输出


可见，系统的响应包含有标准二阶系统的响应及该响应的导数，导数项的大小与零点 成反比，即零点离虚轴越远，附加零点对系统响应的影响越小。

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D.d 增加零极点对系统响应的影响

下面通过一个实例来说明一个极点或一个零点对系统响应的影响。
设某三阶系统闭环传递函数为 ：

分析零点-2.5和极点-6对系统阶跃响应的影响。
系统的传递系数（或静态增益）为1，系统零极点分布图如图所示。主导极点为－3±4j;

考虑如下几种情况：
1 原三阶系统：
2 忽略极点的系统：
3 忽略零点的系统：
通过Matlab进行计算机仿真，得到对应的单位阶跃响应曲线和性能指标：

对比响应曲线和性能指标列表，我们发现：

• 1 由于零极点距离较近，所以都不 能忽略
• 2 不能忽略的极点使系统超调量减小（37%变成54.5%），调节时间增加0.1s。 这是由于极点具有滤波(阻尼)作用
• 3 不能忽略的零点使系统超调量加大(5.5%变成37%)，响应初期的响应速度加快。这是由于 零点具有微分作用

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