随机变量及其分布(包含详解例题)
本博文源于北京理工大学《概率论与数理统计》包含内容为随机变量及其分布的一些知识，下面是其目录。
随机变量
随机变量及离散型随机变量的定义
因为我们需要根据问题的性质，通过引入一个变量，来描述随机试验的样本点。即引入样本空间到实数域空间到实数域上的映射。
随机变量的定义
随机变量与一般实函数的差别
- X随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值；
- 定义域不同
- 由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率。
离散型随机变量
离散型随机变量的定义
若随机变量X所有可能的取值为有限个或可列无穷多个，则称X为离散型随机变量。否则称为非离散型随机变量。
离散型随机变量的分布
分布律的意义
所谓的分布不过是全部概率1是如何分布在(分配到)随机变量X各个可能值xi上的。有了离散型随机变量X的分布律后，可以计算X取某值或落入某实数集合内的概率。它完全描述了X取值的概率规律。
离散型随机变量分布的性质
第(2)个的归一性利用的非常多，值得记忆。
离散型随机变量例题
拿到这道题目，第（1）小问直接画表格就行了，先确定X的取值，再对X取值概率求一下，写进表格里，再对概率相加是否为1，判断自己写的是不是对的。第(2)小问就是判断X是否落在区间范围内，比如1<=X<=3只有1，2落在这个范围内，就把两者的概率相加就得出最后的答案。完整的解题过程是这样子的。
离散型随机变量的做题步骤
概括起来就是画表格，满足区间的值相加即可。
重要的离散型随机变量
单点分布
若随机变量X只取一个常数值C，即P(X=C)=1,则称X服从单点分布，也称为退化分布
0-1分布
若随机变量X只可能取0和1两个值，其分布律为
任何一个只有两种可能结果的随机现象，都可以用一个服从两点分布的随机变量来描述。两点分布又称为伯努利分布
二项分布
二项分布是两点分布做n次的情况，下面先看一下伯努利试验。
伯努利试验
n重伯努利试验
将伯努利做个n次就成为n重伯努利试验，伯努利试验学术定义如下：
伯努利试验—打靶问题
拿到问题，发现独立二字，就可能是n重伯努利试验。以四发为次数，恰好命中三发为样本空间，开始进行假设。
因为每个事件都是独立的，所以我们可以直接做乘积
伯努利试验–修机器
先分析一个人负责20台的情况，这种情况只需要20台机器至少一台出故障，这个工人就忙不过来考虑到就行了。
然后考虑3个人维修80台，只需要考虑三人四台出故障的概率，四台不好求，那就它的逆事件三台的情况
伯努利试验定理
二项分布与两点分布的图像差别
几何分布
几何分布的概率背景
要想做某实验，第一次做成功后就收手的概率。
几何分布的定义
几何分布的无记忆性
这也是它的性质，如果前几次都没成功，后面又不成功，那么接下来是否成功不取决于前面的失败。
超几何分布
超几何分布的概率背景
就是摸球的不放回抽样的理论定义。
超几何分布定义
泊松分布
泊松分布的概率背景
为解决电话在一段时间的呼叫次数、公共汽车固定时间内来到的乘客数。
泊松分布的定义
做题中我们用的泊松分布都是为了其他做转化的。
泊松分布例题–呼叫电话
恰有四次那就是λ=3，k=4,带进去算就行了。第(2)问就是λ=3，k=0到5计算泊松分布的值就行了。
超几何分布、二项分布、泊松分布的转化
首先还是需要从一道题目来讲起
恰为两件那就用超几何分布X=2的情景
可是做计算过于麻烦，那就又下面的定理将其转换为二项分布
可是n-m太过于复杂那可如何是好？有下面的定理将二项分布转换为泊松分布。
两者的近似效果如图，会发现近似效果很棒。
例题(分布转化)–射击问题
至少命中一次，那就是分为命中和不命中两种类型，那就会发现这是n重伯努利试验。然后至少一次不好求，那就算一次不命中的概率然后用1减去就行了
λ=np，n=5000,p=0.001,所以就是λ=5，k=0，算出泊松分布的概率值
会发现小概率事件虽不容易发生，但重复次数多了，就成大概率事件了。
随机变量的分布函数
随机变量的分布函数定义
分布函数的3点说明
- 分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用数学分析的工具来研究随机变量；
- 如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F（x）的值就表示X落在区间(-∞,x]的概率；
例题–抛硬币问题
先将其分布律表格画出来，很显然这是两点分布。表格是这样子的
然后开始求分布函数
最后将各个题目的答案汇总，变成一个分段的F（x）
分布函数做题步骤
先算出分布律，然后整出分布函数，公式如下：
分布函数的性质
用分布函数计算某些事件的概率
例题(关于分布函数性质)
利用分布函数的非负性 x->-∞=0 x->+∞=1.可以计算出A与B的值
然后算(-1<=X<=1)，根据F(1)-F(-1)即可