牛顿-莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。
牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。
定义
如果函数
在区间
上连续，并且存在原函数
，
则
弱化条件
如果函数
区间
上有定义，并且满足以下条件：
（1）在区间
上可积；
（2）在区间
上存在原函数
；
则
公式推导
推导一
定义一个变上限积分函数
，让函数
获得增量
，则对应的函数增量
根据积分中值定理可得，
所以
因为
所以
即
证毕。
推导二
因为函数
在区间
上可积，任取区间
的分割
在区间
上任取一点
，则有
其次，对于分割
，有
在区间
上对函数
应用拉格朗日中值定理得
证毕。
定理推广
二重积分形式
设函数
在矩形区域
上连续，如果存在一个二元函数
，使得
则二重积分
曲线积分形式
设D为单连通区域，
与格林公式和高斯公式的联系
与
在区域D上有连续的一阶偏导数，
若存在一个二元函数
，使得
在区域D中任意取两个点
，则对连接
的任意一条光滑曲线L，
都有