MIT_单变量微积分_23

Ex: 哈哈哈，这个图用viso有点儿难画…,左图想要表达的是$y=2^{-r^2}$y=2−r2的三体旋转图。

由上图的右图可知：$r^2=b^2+x^2，e^{-r^2}=e^{-(b^2+x^2)}=e^{-b^2}*e^{-x^2}=Ce^{-x^2}$r2=b2+x2，e−r2=e−(b2+x2)=e−b2∗e−x2=Ce−x2
$A(b)=\int_{\infty}^{\infty}e^{-b^2}e^{-x^2}dx\\ =e^{-b^2}\int_{\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\\ =e^{-b^2}Q$A(b)=∫∞∞​e−b2e−x2dx=e−b2∫∞∞​e−x2dx=e−b2Q
$V=\int_{\infty}^{\infty}A(y)dy\\ =\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}Qdy\\ =Q\int_{\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy\\ =Q^2$V=∫∞∞​A(y)dy=∫−∞∞​e−y2Qdy=Q∫∞∞​e−y2dy=Q2

Ex：$y=e^{-r^2}$y=e−r2
(1)

$V= \int_0^{\infty} 2\pi r e^{-r^2}dr\\ =(-\pi e^{-r^2})|_0^{\infty}\\ =\pi (1-0)\\ =\pi$V=∫0∞​2πre−r2dr=(−πe−r2)∣0∞​=π(1−0)=π

(2)
$V=Q^2=V=\pi\\ Q=\sqrt{\pi}$V=Q2=V=πQ=π​
(3)
$F(x)=\int_0^xe^{-t^2}dt,F(\infty)=\int_0^{\infty}e^{-t^2}dt$F(x)=∫0x​e−t2dt,F(∞)=∫0∞​e−t2dt

$Q=2F(\infty),F(\infty)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$Q=2F(∞),F(∞)=2π​​