菜鸡HP的被虐日常（1）难搞的四边形面积①

$By \quad HolyPush$ByHolyPush

在$Rt\Delta ABC$RtΔABC中，$B$B为直角，$A=60°$A=60°，$AB=4\sqrt{3}$AB=43​，点$D$D在边$BC$BC上，且$BD=2$BD=2，点$G$G在边$AB$AB上，点$E、F$E、F在边$AC$AC上，线段$DE$DE与$GF$GF相交于点$O$O，$DE=GF$DE=GF，且$∠EOF=60°$∠EOF=60°，则四边形$DGEF$DGEF面积的取值范围是$?$?

条件好多啊啊啊！这一看就是一道很烦的题。$emm……$emm……先画个图吧？

还是毫无头绪……怎么办办惹？难道求助淋淋女士嘛？不，还是得靠自力更生！
题目要求四边形面积，然后这个四边形我们知道了对角线的夹角，而且两条对角线还是一样长的！那么根据四边形面积公式$S=\frac{1}{2}absinα(a,b$S=21​absinα(a,b为对角线长度$,α$,α为对角线夹角)，我们只需要求出$ED$ED的长度的范围就好了！开熏！
要不设个未知数吧？但设边长貌似不是很好做，那就设角度吧。挑哪个角呢？$∠EDC$∠EDC看起来就像是我能认亲的角厚，就设$∠EDC=α$∠EDC=α吧。
先初步定个范围吧！如果$\alpha<60°$α<60°，那么$∠EOF$∠EOF不可能等于$60°$60°了，而最大的时候，也只能到$∠ADC$∠ADC那么大。所以初步估计$α∈[60°,∠ADC]$α∈[60°,∠ADC]

然后怎么搞呢？当我们做平面几何完全没有任何思路的时候，就只能使用暴力手段，将所有可以求得的量都写出来！以备不时之需。
还好我们的脑子没有被淋淋迷惑厚，我们觉得$ED$ED这条边很好。仔细观察一下，发现$\Delta CDE$ΔCDE已知两角一边，那么我们就可以把$ED$ED求出来了！珍素开心惹。
$∵BD=2,BC=\sqrt{3}AB=12,∴DC=10$∵BD=2,BC=3​AB=12,∴DC=10
在$\Delta CDE$ΔCDE中，$\frac{CD}{sin_{∠DEC}}=\frac{DE}{sin_C}$sin∠DEC​CD​=sinC​DE​
解得$DE=\frac{5}{sin_{(\alpha+30°)}}$DE=sin(α+30°)​5​
太棒了！既然知道了$DE$DE，那么因为题目中说$GF=DE$GF=DE,所以我们高高兴兴地资道了$GF=\frac{5}{sin_{(\alpha+30°)}}!$GF=sin(α+30°)​5​!
但是有什么用呢$……$……既然发现不了什么，那么我们顺便把$EC$EC也求了吧。根据正弦定理可以算出$EC=\frac{10sin_{\alpha}}{sin_{(\alpha+30°)}}$EC=sin(α+30°)​10sinα​​

愚蠢的$HP$HP：这不是显然是$[5,+∞)$[5,+∞)嘛！答案已经有了厚！
聪明的$txl$txl：你说泥玛？傻子都看得出来$+∞$+∞是不可能的。
愚蠢的$HP$HP：呜呜……又被嘲讽了……那我们还要把$\alpha$α的范围算出来咯？
聪明的$txl$txl：是的。

这$∠EOF=60°$∠EOF=60°真的太难用进去了……拘泥于$GF=DE$GF=DE这个条件我们仿佛走入了死胡同！
但是为什么一定要用$GF=DE$GF=DE这个条件呢$……60°$……60°这个条件真的派不上用场吗？

聪明的$txl$txl：显然能发现，如果$∠EOF=60°$∠EOF=60°，那么如果你平行移动$GF$GF这条直线，那么$∠EOF$∠EOF依然是$60°$60°。
愚蠢的$HP$HP：没听懂$……$……画个图吧。

聪明的$txl:$txl:唉$……$……烂泥胡不夯强惹！图里面$G'F'//GF$G′F′//GF，$G'F'∩ED=O'(∩$G′F′∩ED=O′(∩是交点的意思$)，$)，那么显然因为同位角相等，有$∠EO'F'=60°$∠EO′F′=60°。无论你怎么平移，只要有这个交点$O'$O′，它就是60°。

这有什么启示呢？

愚蠢的$HP$HP：难道我们要考虑极端情况嘛$？$？
聪明的$txl$txl：你终于稍微微微微开窍了一点。$GF$GF它不断平移，如果要有交点，那么将它平移至$F'$F′与$E$E重合的时候最短，$G$G与$B$B重合的时候最长。而$GF$GF的实际长度夹于这两个极端值之间。两种情况我们分别画个图吧。

这个$60°$60°看起来能用进去了！高兴坏了厚。愚蠢的$HP$HP一把抱起体重$1300N$1300N的聪明的$txl$txl。
根据平行直线内错角相等，我们可以得到$∠G'EO=60°$∠G′EO=60°。进一步分析，由于$∠AG'E+∠AEG'=∠AEG'+∠DEC=120°$∠AG′E+∠AEG′=∠AEG′+∠DEC=120°，所以得到$∠AG'E=∠DEC=150°-α$∠AG′E=∠DEC=150°−α
可以运用正弦定理了！
在$\Delta AG'E$ΔAG′E中，$\frac{G'E}{sin_A}=\frac{AE}{sin_{∠AG'E}}=\frac{AC-EC}{sin_{∠AG'E}}=\frac{8\sqrt{3}-\frac{10sin_{\alpha}}{sin_{(\alpha+30°)}}}{sin_{(α+30°)}}$sinA​G′E​=sin∠AG′E​AE​=sin∠AG′E​AC−EC​=sin(α+30°)​83​−sin(α+30°)​10sinα​​​
太复杂了！但我们还是要算下去。$G'E=\frac{12-\frac{5\sqrt{3}sin_{\alpha}}{sin_{(\alpha+30°)}}}{sin_{(α+30°)}}$G′E=sin(α+30°)​12−sin(α+30°)​53​sinα​​​

然后列不等式
$∵G'E≤GF$∵G′E≤GF
$∴\frac{12-\frac{5\sqrt{3}sin_{\alpha}}{sin_{(\alpha+30°)}}}{sin_{(α+30°)}}≤\frac{5}{sin_{(\alpha+30°)}}$∴sin(α+30°)​12−sin(α+30°)​53​sinα​​​≤sin(α+30°)​5​
稍稍化简得$7sin_{(\alpha+30°)}≤5\sqrt{3}sin_α$7sin(α+30°)​≤53​sinα​
然后愚蠢的$HP$HP就把$α$α的范围算出来了……

聪明的$txl$txl：你傻啊！我们要求的$GF$GF的分母是$α+30°$α+30°，你求$α$α干啥？还不赶紧设$β=α+30°$β=α+30°去做？
$7sinβ≤5\sqrt{3}sin_{(β-30°)}=5\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}sinβ-\frac{1}{2}cosβ)$7sinβ≤53​sin(β−30°)​=53​(23​​sinβ−21​cosβ)
化简得$sinβ>5\sqrt{3}cosβ$sinβ>53​cosβ
当我们还在考虑$cosβ$cosβ的符号时，聪明的$txl$txl已经告诉愚蠢的$HP$HP，$β≥90°$β≥90°。$HP$HP疑惑不解，但当聪明的$txl$txl翻到本博客顶端给他展示$α$α的范围之后，他便恍然大悟了。
可以发现，$β∈[90°,180°]$β∈[90°,180°]时，该式恒成立！多么令人愉悦。

由于聪明的$txl$txl已经被愚蠢的$HP$HP搞得心力交瘁，导致$HP$HP只能自己去算另一边。在算错了无数次之后，他终于算出来，另一边的不等式的结果为$tanβ≤-\frac{5\sqrt{3}}{7}$tanβ≤−753​​或$β=90°$β=90°
然后我们就可以开开心心地算$sinβ$sinβ的范围啦！不难看出，$\beta=90°$β=90°时，$sinβ=1$sinβ=1最大。当$tan\beta=-\frac{5\sqrt{3}}{7}$tanβ=−753​​时，$sin\beta=\frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{31}}$sinβ=231​53​​最小。

终于！$S=\frac{1}{2}DE^2sin60°=\frac{25\sqrt{3}}{4}×\frac{1}{sin^{2}\beta}∈[\frac{25\sqrt{3}}{4},\frac{31\sqrt{3}}{3}]$S=21​DE2sin60°=4253​​×sin2β1​∈[4253​​,3313​​]

太累啦！正当愚蠢的$HP$HP打算瘫倒在地时，法力无边的$cj$cj走了进来，说：好像是有点繁！马上给出了四点共圆的解法，愚蠢的$HP$HP惊为天人，请求$cj$cj讲解……

欲知后事如何，请听下回因式分解。