菜鸡HP的被虐日常（3）八仙过海各显神通

话说法力无边的$cj$cj扔给愚蠢的$HP$HP的这道题，是这样的：
已知$∠CAB=60°,\Delta BCP$∠CAB=60°,ΔBCP是边长为$2$2的等边三角形，求$AP$AP最大值。
听说$cj$cj是因为看到愚蠢的$HP$HP因为多日未鸡导致的失心疯上传了$0$0分作业而给他的惩罚$……$……

废话就不多说了，因为现在是在学解三角形，所以第一时间想到的就是暴算啦！

设随便一个角，比如$∠CBA=α$∠CBA=α，那么在$△ACB$△ACB中运用正弦定理，$\frac{AC}{sinα}=\frac{CB}{sin∠CAB}$sinαAC​=sin∠CABCB​，解得$AC=\frac{4\sqrt{3}}{3}sinα$AC=343​​sinα。再在$\Delta ACP$ΔACP中运用余弦定理，
$AP^2=AC^2+CP^2-2AC×CPcos(∠ACB+∠BCP)$AP2=AC2+CP2−2AC×CPcos(∠ACB+∠BCP)
$=\frac{16}{3}sin^2α+4-\frac{16\sqrt{3}}{3}sinαcos(180°-α)$=316​sin2α+4−3163​​sinαcos(180°−α)
$=\frac{16}{3}×\frac{1-cos2α}{2}+4+\frac{8\sqrt{3}}{3}sin2\alpha$=316​×21−cos2α​+4+383​​sin2α
$=\frac{8\sqrt{3}}{3}sin2\alpha-\frac{8}{3}cos2α+\frac{20}{3}$=383​​sin2α−38​cos2α+320​
$=\frac{16}{3}sin(2α-30°)+\frac{20}{3}$=316​sin(2α−30°)+320​
当且仅当$α=60°$α=60°时，取最大值$12$12，即$AP^2≤12$AP2≤12
故$AP≤2\sqrt{3}$AP≤23​

正当愚蠢的$HP$HP干脆利落地放下笔打算舒服一阵时，发现坐在他面前的所有人都已经睡着了。思思大哭$!$!

愚蠢的$HP$HP用他的余光偷瞄了一眼聪明的$txl$txl的做法，发现这个做法比自己的破方法好多了惹。

聪明的$txl$txl看到这个图形，巧妙地想到了初中常用的技巧：做对称点！

作$P$P关于$AC,AB$AC,AB的对称点$P_1,P_2$P1​,P2​，由对称的性质可以得到$AP_1=AP_2=AP,CP_1=BP_2=BC=2，∠CAP_1=∠CAP,∠BAP_2=∠BAP$AP1​=AP2​=AP,CP1​=BP2​=BC=2，∠CAP1​=∠CAP,∠BAP2​=∠BAP，故$∠P_1AP_2=120°$∠P1​AP2​=120°。$\Delta P_1AP_2$ΔP1​AP2​是一个顶角为$120°$120°的等腰三角形厚！如果我们要求$AP$AP最大值，只要求$AP_1$AP1​最大值，也只需要求$P_1P_2$P1​P2​最大值噜！
根据折线，可以得到$P_1P_2≤P_1C+CB+BP_2=6$P1​P2​≤P1​C+CB+BP2​=6，又因为在顶角为$120°$120°的等腰三角形中，底边是腰长的$\sqrt{3}$3​倍，所以$AP_1≤2\sqrt{3}$AP1​≤23​，也就是$AP≤2\sqrt{3}$AP≤23​。泰简单勒惹！

愚蠢的$HP$HP心中出现了$txl$txl高大伟岸的形象，太帅了惹！！正打算到讲台上表演一段活零活现的舞蹈，却发现太上老君$lar$lar也有神奇的做法！

将图形补全为一个大的正三角形，根据初中的知识可以得到$\Delta ABC≌\Delta ECP$ΔABC≌ΔECP。不妨设$AC=EP=x,AB=EC=y$AC=EP=x,AB=EC=y。则在$\Delta AEP$ΔAEP中使用余弦定理可以得到$AP^2=(x+y)^2+x^2-2(x+y)xcos60°=x^2+y^2+xy$AP2=(x+y)2+x2−2(x+y)xcos60°=x2+y2+xy。而在$\Delta ABC$ΔABC中使用余弦定理可以得到$x^2+y^2-xy=4$x2+y2−xy=4，所以$AP^2=4+2xy$AP2=4+2xy。要求出$AP$AP的最大值，只需要求出$xy$xy最大值即可。那怎么求呢？太上老君$lar$lar同样给出了两种方法。

$∵x^2+y^2-xy=(x-y)^2+xy=4$∵x2+y2−xy=(x−y)2+xy=4，
$∴xy=4-(x-y)^2≤4$∴xy=4−(x−y)2≤4，当且仅当$x=y=2$x=y=2时取等

看到既有$x^2+y^2$x2+y2，又有$xy$xy，而且还是个等式，除了配凑完全平方外，是不是还可以想到使用不等式？

$4=x^2+y^2-xy≥2xy-xy=xy$4=x2+y2−xy≥2xy−xy=xy，故$xy≤4$xy≤4，所以$AP^2≤12$AP2≤12，即$AP≤2\sqrt{3}$AP≤23​，在$x=y=2$x=y=2时取到等号。又是一种有趣的做法！

愚蠢的$HP$HP：应该没有其他做法了吧……
无敌的一哥：不，我还有！

无敌的一哥：既然$BCP$BCP三个点动来动去太烦，不如考虑一下相对运动，$BCP$BCP静止，$A$A点动？
愚蠢的$HP$HP：$！$！
无敌的一哥：$∠CAB$∠CAB的大小为固定的$60°$60°，所以$A$A点在一个以$BC$BC为弦的圆上运动。要求的即是圆外一点$P$P到圆上一点的最远距离……
愚蠢的$HP($HP(打断$):$):不不不一哥你还是让我自己想吧。
无敌的一哥：哦，好吧。顺便说一句，你还可以取$△BCP$△BCP的重心，通过四点共圆和三角形两边之和大于第三边来做噢！$Bye$Bye~~~$Da.$Da.
愚蠢的$HP$HP跪倒在地……真是八仙过海，各显神通啊……

欲知后事如何，倾听下回因式分解。