6.8 行列式 (determinant)

行列式是方阵的一个属性

行列式描述的是：n个向量围成的“有向面积”，来刻画这组向量（基）

（将A映射到一个纯量）

det ()：按行排列（a，b），（c，d）

$\det{\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right)}$det(ac​bd​)

行列式求法：面积 --> 割补法

行列式的四大基本性质

一、$\det{ I} = 1$detI=1

二、交换两行，det 值取反

三、加法：方阵某一行 * k，其对应的行列式也缩放k倍

【注】：$det(kA) = k^n det(A)$det(kA)=kndet(A)

四、乘法：方阵某一行加一行数，可以拆分成两个行列式的和

【注】：$\det{\left( \begin{matrix} a+x & b+y \\ c & d \end{matrix}\right)} = \det{\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right)} + \det{\left(\begin{matrix} x & y \\ c & d \end{matrix} \right)}$det(a+xc​b+yd​)=det(ac​bd​)+det(xc​yd​)

行列式与矩阵的逆

推论1：行列式存在行为0，值为0

推论2：行列式两行相同或成比例，值为0

推论3：行列式存在行是其他行的线性组合（行向量组线性相关），值为0

$\det{A} = 0 \leftrightarrow A不可逆$detA=0↔A不可逆

$\det{A} \ne 0 \leftrightarrow A可逆$detA​=0↔A可逆

计算行列式的算法

推论：行列式一个行加（减）另一行的k倍，行列式的值不变

进行Gauss / Gauss-Jordan消元法不改变行列式的值

【注1】消元过程中不能归一化

【注2】行置换/列值换操作变符号

上三角矩阵行列式 = 下三角矩阵行列式 = 对角矩阵D的行列式 = det(D)

初等矩阵与行列式

性质：det(A·B) = det(A)·det(B)

分情况讨论：

$det(A·A^{-1}) = det(A)·det(A^{-1})$det(A⋅A−1)=det(A)⋅det(A−1)

$det(A^{-1}) = \frac{1}{det(A)}$det(A−1)=det(A)1​

$\rightarrow$→ A可逆，det(A) != 0

行式就是列式

$det(A) = det(A^T)$det(A)=det(AT)

转置运算：行变列，列变行

证明：
任意A可以分解成PLUP‘

det(A) = det(PLUP‘) = det§·det(L)·det(U)·det§

依次证明，拆成初等矩阵

对行成立的所有性质对列也成立

行列式的代数表达

递归定义，时间复杂度 O（n!）

【注】涉及：群论，组合数学等内容

• Cramer法则：求解$A\vec{x} = \vec{b}$Ax=b

$x_i = \frac{|A_i(b)|}{|A|}, A_i(b): 将A的第i列换成b$xi​=∣A∣∣Ai​(b)∣​,Ai​(b):将A的第i列换成b