MIT_单变量微积分_11

1. 相关变率

Ex1:判断是否超速（$95ft/s$95ft/s）,累到探测速度为$80ft/s$80ft/s, $\frac{dD}{dt}=-80ft/s.$dtdD​=−80ft/s.

$x=\sqrt{D^2-30^2},2x\frac{dx}{dt}=2D\frac{dD}{dt},得出\frac{dx}{dt}=-100ft/x$x=D2−302​,2xdtdx​=2DdtdD​,得出dtdx​=−100ft/x

Ex2: 一个圆锥形的管子，顶部半径为$4ft$4ft,高为$10ft$10ft,注水速度为$2立方/min$2立方/min,当水深$5ft$5ft时，水面上升的速度为多少？

解： $\frac{r}{h}=\frac{4}{10},\frac{dv}{dt}=2$hr​=104​,dtdv​=2

$v=\frac{1}{3}\pi r^2 *h$v=31​πr2∗h

$r=\frac{2}{5}h$r=52​h

$v=\frac{1}{3}\pi(\frac{2}{5}h)^2*h$v=31​π(52​h)2∗h

$2=\frac{dv}{dt}=\frac{\pi}{3}(\frac{2}{5})^2*3h^2*\frac{dh}{dt}=\frac{4}{25}\pi h^2\frac{dh}{dt}$2=dtdv​=3π​(52​)2∗3h2∗dtdh​=254​πh2dtdh​

当$h=5$h=5时，$\frac{dh}{dt}=\frac{1}{2\pi}ft/min$dtdh​=2π1​ft/min

Ex3:如果所示为固定两个顶点后画的图形，求$y$y得最小值，即$y'=0$y′=0

解：$\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{(a-x)^2+(b-y)^2}=L$x2+y2​+(a−x)2+(b−y)2​=L
使用隐函数微分法得：
$\frac{2}{2}*\frac{x+yy'}{(x^2+y^2)^{\frac{1}{2}}}-\frac{(a-x)+(b-y)y'}{\sqrt{(a-x)^2+(b-y)^2}}=0\\ \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{a-x}{\sqrt{(a-x)^2+(b-y)^2}}\\ sin A= sinB$22​∗(x2+y2)21​x+yy′​−(a−x)2+(b−y)2​(a−x)+(b−y)y′​=0x2+y2​x​=(a−x)2+(b−y)2​a−x​sinA=sinB
即$A=B$A=B