MIT.单变量微积分（1）

导数的加法法则： $(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}$
导数的数乘法则： $(c u)^{'} = c u^{'}$
可去间断点： $A : g (x) = \frac{s i n (x)}{(x)}, lim_{x \to 0} \frac{s i n (x)}{x} = 1$
$B : h (x) = \frac{1 - c o s (x)}{x}, lim_{x \to 0} \frac{1 - c o s (x)}{x} = 0$
$s i n (x)^{'} = c o s (x)$ 和 $(c o s x)^{'} = - s i n (x)$ 的证明： $\frac{s i n (x + Δ x) - s i n (x)}{Δ x} = \frac{s i n x c o s Δ x + c o s x s i n Δ x - s i n x}{Δ x} = s i n x (\frac{c o s Δ x - 1}{Δ x}) + c o s x (\frac{s i n Δ x}{Δ x}) = c o s x - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - \frac{c o s (x + Δ x) - c o s x}{Δ x} = \frac{c o s x c o s Δ x - s i n x s i n Δ x - c o s x}{Δ x} = c o s x (\frac{c o s Δ x - 1}{Δ x}) - s i n x (\frac{s i n Δ x}{Δ x}) = - s i n x$
使用极限几何证明A、B。
- 证明 A:
  
  $Δ x \to Θ, \frac{弓弦}{弓} = \frac{2 s i n Θ}{2 Θ} \to 1$
- 注：极短的曲线可以看作直线。
- 证明B:

\frac{1 - c o s Θ}{Θ} \to 0, 前 提 ： 这 个 圆 还 是 单 位 圆 。 当 红 色 部 分 很 小 时 ， 即 Θ 很 小 的 时 候 ， 等 式 便 为 0 。

MIT.单变量微积分（1）

O R ⊥ P Q, Q R ⊥ P R, Δ y = P R, P Q \approx Δ Θ, \frac{Δ y}{Δ Θ} = c o s Θ

$P f :$

Δ (u v) = u (x + Δ x) v (x + Δ x) - u (x) v (x) = (u (x + Δ x) - u (x)) v (x + Δ x) + u (x) (v (x + Δ x) - v (x)) = Δ u v (x + Δ x) + u (x) Δ v \frac{Δ (u v)}{Δ x} = \frac{Δ u}{Δ x} v (x + Δ x) + \frac{u Δ v}{Δ x} 由 于 Δ x \to 0 所 以 ， \frac{d (u v)}{d x} = \frac{d u}{d x} \cdot v + u \frac{d v}{d x}

Δ (\frac{u}{x}) = \frac{u + Δ x}{v + Δ v} - \frac{u}{v} = \frac{u v + (Δ u) v - u v - u Δ v}{(v + Δ v) v} = \frac{(Δ u) v - u Δ v}{(v + Δ v) v} \frac{Δ (\frac{u}{x})}{Δ x} = \frac{\frac{Δ u}{Δ x} v - u \frac{Δ v}{Δ x}}{(v + Δ v) v} 由 于 Δ x \to 0, 所 以 \frac{d}{d x} (\frac{u}{v}) = \frac{\frac{d u}{d x} \cdot v - u \frac{d v}{d x}}{v \cdot v}